ｎ人の人がプレゼント交換をする時、１回で済む確率は、
で表される事を証明せよ。
解答
３人の場合を考え、３人をA，B，C，３人の持って来たプレゼントをａ，ｂ，ｃとすると、樹形図を描いて、
２通り。また、全ての場合の数は３！＝３×２×１＝６通りより確率は２/６＝１/３
ここで、Aがｂの場合を考えてみる。次にBがａかａじゃないかで大きな違いがある。これを４人の場合で考えてみると、
Bにａが入ってしまえばAとBの関係は完結してしまってC，Dはお互いの関係だけを考えれば良い。しかし、Bにａが入らない場合はBとCとDの関係を考えなければならないからである。
そこで、ｎ人がお互いに自分のプレゼントを受け取らない場合の数をD（ｎ）と置くと、Aの場合の数はｎ－１通り。また、Bがａの場合はD（ｎ－２）通りでBがａ以外の場合はD（ｎ－１）通り。（これは漸化式慣れしていないときついか。ただし、よく考えれば分かる事である。因みに、以前に巣鴨高校の入試問題で似たような漸化式の問題を見た事がある。）
よって、D（ｎ）＝（ｎ－１）｛D（ｎ－２）＋D（ｎ－１）｝―――①という関係式（漸化式）が成り立つ。
よって、ｎ人がお互いに自分のプレゼントを受け取らない確率をP（ｎ）と置くと、
P（ｎ）＝D（ｎ）/ｎ！よりD（ｎ）＝ｎ！・P（ｎ）―――②
②を①に代入すると、ｎ！・P（ｎ）＝（ｎ－１）｛（ｎ－２）！・P（ｎ－２）＋（ｎ－１）！・P（ｎ－１）｝＝（ｎ－１）！・P（ｎ－２）＋（ｎ－１）（ｎ－１）！・P（ｎ－１）
（この定石は高２で習うが、定石など知らなくてもこの式を展開すれば青い字の２番目の式になる事は中１で分かる。）
ここからは数列の知識がないとダメかもしれないが、何となく感じだけは中学生でも分かると思う。
よって、数列P（ｎ）－P（ｎ－１）は、初項がP（２）－P（１）で公比が－１/ｎの等比数列である。ところが、公比の－１/ｎが変動するので等比数列とはならない。つまり、
ところで、１人の場合の確率は０で２人の場合の確率は１/２である。よって初項は、P（２）－P（１）＝（１/２）－０＝１/２ また、（－１）^n-2＝（－１）^nより、
よって、
よって、示された。
ところで、マクローリン級数より、
（これは公式としてこういうものだと考えれば問題ない。ｅ＝２．７１８２８１８・・・・）
これにｘ＝－１を代入すると、
よって、ｎ→∞の時P（ｎ）は１/ｅに収束する。
よって、その確率は１/２．７１８２８１８・・・・＝０．３６７８７９４・・・・
よって、約３６．８％に収束する（参考になったサイト）。
おまけ