![$シフル・ド・ノストラダムス](https://stat.ameba.jp/user_images/20110716/19/hitorinomeaki/9c/44/j/t02200119_0394021311353767985.jpg?caw=800)
1辺が10cmの正三角形ABCの辺AB,ACの外側に正方形ABDE,ACFGを描き、DFと辺AB,ACとの交点をH,Iとする時、五角形AEHIGの面積を求めよ。ただし、ルートを使ってはいけない。(夕刊フジ・大人の算数-改)(解答は下の方)
解答
解法1
![$シフル・ド・ノストラダムス](https://stat.ameba.jp/user_images/20110716/19/hitorinomeaki/72/d4/j/t02200115_0414021611353798884.jpg?caw=800)
AF,ADを結ぶと、GFとAC,EDとABは平行より等積変形すると、△GAI=△FAI,△EAH=△DAH(底辺と高さが等しいので面積も等しい(等積変形))つまり、五角形AEHIGの面積は△ADFの面積と等しい。
ここでDAの延長上にFから垂線を下ろしKとすると、∠DAF=60°+45°×2=150°より、∠FAK=30°
よって△AFKは30°,60°,90°の定規型より、AF:FK=2:1 よって、FK=(1/2)AF―――①
またEからADに垂線を下ろしJとすると、△EDAは直角二等辺三角形より△EJAも△EJDも直角二等辺三角形となり、EJ=DJ=AJ よって、EJ=(1/2)AD―――② また、AD=AF―――③
①,②,③より、FK=EJ
ところで△FDAと△EDAに関して、底辺ADと高さFK=EJが等しいので面積も等しい。よって、△ADFの面積は△EDAの面積と等しい。よって五角形AEHIGの面積は△EDAの面積と等しい。
よって、五角形AEHIG=△EDA=10×10÷2=50cm^2
解法2は次回。
おまけ