１辺が１０cmの正三角形ABCの辺AB，ACの外側に正方形ABDE，ACFGを描き、DFと辺AB，ACとの交点をH，Iとする時、五角形AEHIGの面積を求めよ。ただし、ルートを使ってはいけない。（夕刊フジ・大人の算数－改）（解答は下の方）
解答
解法１
AF，ADを結ぶと、GFとAC，EDとABは平行より等積変形すると、△GAI＝△FAI，△EAH＝△DAH（底辺と高さが等しいので面積も等しい（等積変形））つまり、五角形AEHIGの面積は△ADFの面積と等しい。
ここでDAの延長上にFから垂線を下ろしKとすると、∠DAF＝６０°＋４５°×２＝１５０°より、∠FAK＝３０°
よって△AFKは３０°，６０°，９０°の定規型より、AF：FK＝２：１ よって、FK＝（１/２）AF―――①
またEからADに垂線を下ろしJとすると、△EDAは直角二等辺三角形より△EJAも△EJDも直角二等辺三角形となり、EJ＝DJ＝AJ よって、EJ＝（１/２）AD―――② また、AD＝AF―――③
①，②，③より、FK=EJ
ところで△FDAと△EDAに関して、底辺ADと高さFK=EJが等しいので面積も等しい。よって、△ADFの面積は△EDAの面積と等しい。よって五角形AEHIGの面積は△EDAの面積と等しい。
よって、五角形AEHIG＝△EDA＝１０×１０÷２＝５０cm^2
解法２は次回。
おまけ