△ABCの底辺BCの中点をM，AからBCに下ろした垂線の足をHとする。
AH=x，MH=yと置いて三平方の定理を使うと、x^2+y^2=AM^2――① x^2+(BM+y)^2=AB^2――②
②－①より、2y・BM=AB^2-AM^2-BM^2 ∴y=(AB^2-AM^2-BM^2)/2BM――③
③を①に代入すると、x^2=AM^2-{(AB^2-AM^2-BM^2)^2/4BM^2}={4AM^2・BM^2-(AB^2-AM^2-BM^2)^2}^2/4BM^2
また、△ACHで三平方の定理を使うと、CH^2=AC^2-x^2={4AC^2・BM^2-4AM^2・BM^2+(AB^2-AM^2-BM^2)^2}/4BM^2=(4AC^2・BM^2-4AM^2・BM^2+AB^4+AM^4+BM^4-2AB^2・AM^2+2AM^2・BM^2-2AB^2・BM^2)/4BM^2=(AB^4+AM^4+BM^4-2AB^2・AM^2-2AM^2・BM^2-2AB^2・BM^2+4AC^2・BM^2)/4BM^2
これに、2BM^2+2AM^2+AB^2を加えて引くと、
CH^2=(AB^4+AM^4+BM^4-2AB^2・AM^2-2AM^2・BM^2-2AB^2・BM^2+4AC^2・BM^2)/4BM^2
+{(8BM^4+8AM^2・BM^2+4AB^2・BM^2)/4BM^2}－{(8BM^4+8AM^2・BM^2+4AB^2・BM^2)/4BM^2}
={(AB^4+AM^4+9BM^4-2AB^2・AM^2+6AM^2・BM^2-6AB^2・BM^2)/4BM^2}－{(8BM^4+8AM^2・BM^2-4AB^2・BM^2-4AC^2・BM^2)/4BM^2}と２つに分けられる。
∴CH^2={(-AB^2+AM^2+3BM^2)^2/4BM^2}－{BM^2(2BM^2+2AM^2-AB^2-AC^2)/4BM^2}
ここで中線定理の逆、AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)が成り立つとすると、
CH^2=(-AB^2+AM^2+3BM^2)^2/4BM^2 （2BM^2+2AM^2-AB^2-AC^2=0だから。）
∴CH=│-AB^2+AM^2+3BM^2│/2BM また、MH=y=(AB^2-AM^2-BM^2)/2BMより、
MC=CH+MH=(│-AB^2+AM^2+3BM^2│/2BM)+(AB^2-AM^2-BM^2)/2BM
(ⅰ)-AB^2+AM^2+3BM^2≧0の場合
MC=2BM^2/2BM=BM よってBM=CMより点MはBCの中点となり、逆も成り立つ。
(ⅱ)-AB^2+AM^2+3BM^2＜0の場合
MC={(AB^2-AM^2-3BM^2)/2BM}+{(AB^2-AM^2-BM^2)/2BM}=(2AB^2-2AM^2-4BM^2)/2BM≠BM
よって(ⅱ)より、AB^2-AM^2-3BM^2＞0の場合、中線定理の逆は成り立たない。
よって条件（または法則）は、AB^2-AM^2＞3BM^2
追記
この条件は、上図の点MがAから下ろした垂線の足Hより左にある場合のみの条件だった。その理由は、上の赤線部のMC=CH+MHという所だが、点MがHより右にあればMC=CH-MHとなるからである。（点Aが点Cより右側にある場合、つまり∠Cが鈍角の場合はMC=MH-CHとなる。）よってこのレポートは参考程度にして保留。条件は、「ちょっと面白い数学の話 その１３の続き」の補足のページ。（座標は全ての場合を補う。）
補足
おまけ