問題 次のパラドックスを見破れ。
「中線定理は逆も成り立つ。」
証明
上図のように辺BC上に点Mを取り、BM:CM=t:1-t (０＜ｔ＜１)と置くと点Aを始点とした位置ベクトルの内分点の公式より、ベクトルAM（→AM）は、(→AM)=(1-t)(→AB)+t(→AC)――①
また、(→BM)=(→AM)-(→AB)――② ①を②に代入すると、(→BM)=-t(→AB)+t(→AC)――③
①^2より、│→AM│^2=(1-t)^2│→AB│+2t(1-t)(→AB)(→AC)+t^2│→AC│^2――④
③^2より、│→BM│^2=t^2│→AB│-2t^2(→AB)(→AC)+t^2│→AC│^2――⑤
よって④，⑤より、2(│→AM│^2+│→BM│^2)=2(2t^2-2t+1)│→AB│^2+2(2t-4t^2)(→AB)(→AC)+4t^2│→AC│^2――☆
ところで中線定理の逆が成り立つとすると、│→AB│^2+│→AC│^2=2(│→AM│^2+│→BM│^2)――☆☆
☆を☆☆に代入すると、│→AB│^2+│→AC│^2=(4t^2-4t+2)│→AB│^2+(4t-8t^2)(→AB)(→AC)+4t^2│→AC│^2――☆☆☆
☆☆☆の両辺の係数を比較すると、4t^2-4t+2=1――ア 4t-8t^2=0――イ 4t^2=1――ウ
アより、(2t-1)^2=0 ∴t=1/2 イより、4t(1-2t)=0 ∴t=0,1/2 ウより、t=±1/2
ところで０＜ｔ＜１より、t=1/2 ∴BM:CM=(1/2):(1/2)=1:1 よって、点MはBMの中点。
よって、中線定理は逆も成り立つ。
おまけ（今回はベクトルが分からない人は全く面白くないので競馬。）
http://video.vietgiaitri.com/xem-phim-video/2011123/n-pucT0if3g.vgt
コメント欄は見えないようにしておくので答えが分かった人は解答して下さい。（解答は次回。）