問題
中線定理（パップスの定理）は逆は成り立たない事を証明せよ。
数学は嫌いじゃないが好きじゃないという人のために、まず中線定理とは何か。上図の⊿ABCで点Mは辺BCの中点（真ん中の点）だが、この時必ず、AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)という式が成り立つ事を中線定理という。ではこの定理の逆が成り立つとはどういう事か。これは、⊿ABCがあって辺BC上に点MがあってAB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)という式が成り立つ時、点Mは必ず辺BCの中点になるという事。つまり、AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)という式が成り立っても必ずしも中点とはならない事を証明すれば良い。（解答は下の方。）
解答
必ずしも成り立たない事を証明するには、反例（成り立たない例）を１つ挙げれば良い。それが上図。正確な図を描けば点Mは明らかに中点ではない事が分かる。数学が好きな人は計算して求めれば、CM=5/2(=2.5)となる事が分かる。
因みに、普通の参考書には中線定理は逆が成り立たない事は載っていないし、ちょっとハイレベルの参考書にも逆は成り立たないとしか載っていないのでほとんど逆は成り立たないんだなと勘違いしてしまうが、実際に自分で反例を適当に作ってみようとするとほとんど成り立ってしまう。成り立たない三角形の法則は次回。
おまけ