これから待ち行列の話をしよう。
これは昔，Web日記を書いていた時に，某読者からのリクエストにより書いたものだ(日記にリクエストとは之如何に？)
以下の例え話はかなり怪しい。
つまり数学的な厳密さはさておき、問題が解けりゃいいや、という発想から来ている。
待ち行列を極めたい人や，これで食べていこうと考えている人は，このページではなく専門書を当たる事。
それでは始めよう。
待ち行列で覚えるべき公式は一体いくつだろうか。λだのμだのρだの、見慣れぬ記号がいくつも登場するが、実は覚えるべき公式はたった一つだ。それが
ρ 並んでるお客の数＝━━━ １－ρこれである。この並んでる客の数がわかれば、待ち行列問題はもう解けた同然なのだ。
さて、窓口利用率と呼ばれるρをどうやって求めようか。必要なパラメータは２つ。それをコンビニのレジに例えて解説しよう。
あるコンビニがある。このコンビニにはレジは一つしかない。客によってレジ打ちに要する時間は異なるが、その平均値をレジ打ち時間と命名する。
一方、お客さんが訪れる間隔を考えよう。出勤前や昼食時はドドッと押し寄せるが、平均すると何分かおきに到着するようだ。これを来店間隔と命名する。
ρを求めるのに必要なパラメータは出揃った。では、どうやってρを求める？実は全然簡単なのだ。ρは常に１より小さい。だから２つのパラメータの内、大きい方を分母に持ってくればいいのだ!!(く～怪しい)
例えば、レジ打ち時間が８０秒、来店間隔が１００秒としよう。大きいのは来店間隔だ。だから大きい方を分母にする。ρは
レジ打ち時間 ８０ ρ＝━━━━━━＝━━━＝０．８ 来店間隔 １００となる。
そんなんでいいのか？いいのである。
ρが１よりも小さいということは、要求を十分にさばききれるということなのだ。来店間隔よりもレジ打ち時間の方が短い。だから何人か並んでいたとしても、いつかは行列がなくなるのだ。
これが１よりも大きいとどうなるだろうか？それは要求を十分にさばききれないということなのだ。もしレジ打ち時間が来店間隔よりも長ければ、行列は際限なく延びつづけるのだ。
１よりも大きい場合問題が作れないという試験センタ側の事情がある。だから問題を出すときは必ずρは１より小さい、というわけだ。
(ちなみに、ρ＝１なら、レジがお客を一人さばくと同時に次のお客が来店する、という具合に、行列は増えもしないし減りもしない)。
さて、ρも求まったし、覚えるべき唯一の公式に戻ろう。先ほどのρ＝０．８という数字を使えば、並んでいるお客の数は
ρ ０．８ 並んでるお客の数＝━━━＝━━━━━＝４(人) １－ρ １－０．８となる。ここまで分かればしめたものだ。これは自分がレジの行列に並んだ時、目の前に４人いるという状況だ。
レジが前の４人をさばき終え、やっと自分の番になる。それまでの時間は
並んでるお客の数×レジ打ち時間＝４人×８０秒＝３２０秒
となる。これは待ち行列の世界では平均待ち時間と呼ばれている。
自分の番が来て、精算が完了しレジの前を離れるまでの時間は
平均待ち時間＋自分の精算に要する時間＝３２０秒＋８０秒＝４００秒
となる。これは待ち行列の世界では平均応答時間と呼ばれている。
さあ、実際に問題を解いてみよう。
平成９年午前問１９
公衆電話網を使ってチケットの予約をするシステムがある。予約依頼トランザクション１件のシステム処理時間は平均６秒であり、予約依頼トランザクションは平均１０秒に１回発生する。トランザクションを処理中に他のトランザクションが発生した場合、システム内で待ち行列を作る。この待ち行列はＭ／Ｍ／１モデルに当てはまるものとすると、システムの平均応答時間は何秒か。
ア ９ イ １５ ウ １６ エ ２５
窓口利用率は６／１０＝０．６。
並んでる客の数は０．６／（１－０．６）＝１．５(人)
平均待ち時間は１．５×６＝９(秒)
平均応答時間は９＋６＝１５(秒)
というわけで、答は「イ」となる。
ちなみに、問題によっては「１分間に６回発生する」と表現する場合もあるが、それも落ち着いて来店間隔に変換する事。
問題を注意深く読む事を忘れるなかれ。「平均待ち時間」を求めるのか，それとも「平均応答時間」を求めるのか，今一度注意するのだ。
平均待ち時間を問われているのに，平均応答時間を出してしまうと，悪い事に平均応答時間が選択肢にあったりして，ついつい飛びついてしまう。
気をつけて戴きたい。
P.S.1
Yahoo!知恵袋でも紹介されてた（笑）
待ち行列の問題を解いていただけませんでしょうか？テストが明日に有り大変焦って... http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1422313219?fr=pc_tw_share_q #知恵袋_
P.S.2
ユニバーサルスタジオジャパンのジェットコースターの記事で、史上最大の「待ち行列」だって（笑）
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