スルーしてもいい話の前に、必見の写真をちょっと載せてもらいますが、もちろん、カナやんの写真(/ω＼)
この動きを描写しようとしてもそのための言葉はちょっと頭から抜けているようで諦めましたm(_ _ )m
*:..｡o○☆ﾟ･:,｡*:..｡o○☆*:..｡o○☆ﾟ･:,｡*:..｡o○☆
久々教科書の練習問題をやってみましたが、やっぱり、教科書の説明はだいたいわかると思い込んだものの実際に宿題をやってみたら全滅という体験は皆にも多いんじゃいないですか（それとも私一人だけ(;^_^A）今回のブログは練習問題への解決まで辿り着く道のりを記録しているものですからやっぱり、こんがらがっているものですみませんでした。
対象となる練習問題はこんなものです。
簡単に言えば、y=-1/3x + bという関数で表す直線が座標系のy軸と交差する座標（つまり、未知の定数ｂ）を求めると要求している練習問題なんです。
そして、示唆してくれる情報として一つだけ
y = -1/3x + bという直線と垂直に交差するもう一つの線として、関数y2 = x3によって表現されるものです。
そもそも、もし、y = -1/3x + bにある任意的な一点を教えてくれたら簡単に済むはずだったが、わざわざこんなに使いにくい情報を教えるなんてうざいけど数学のおもしろさもここにあると思います。もともと易いものを少しの視点転換をすることだけでぐっと難しくなる！逆に言うともし正確な視点を把握したら難しくて難解なものはぐっとたやすいものになる可能性もあるのでこの不安定さこそ、おもしろかったです。
答えを探すためには、implicit differentiationと呼ばれる数学的な手段が必要です。というのも、これはこの教科書の当のテーマなのですm(_ _ )m
実はこの陰関数のコンセプトはとても理解しにくいものだと思いますが、一般なら関数というとy = -1/3x + bというような陽関数を指し示しているんですが、陽関数そのものを簡単に説明してみたら
同じものを二つの独立した視点で描写しているものです。y = -1/3x + bという式で言えば、
yそのものを完全にxだけでも表現できることを意味しているのです。つまり、外見的に大きく違っていても（yという記号vs = -1/3x + bという“フレーズ”）実際、同じものです。はっきりと言ったらyは-1/3x + bによって定義されるのみならずそもそも-1/3x + b自体は、yそのものだと意味している。逆に言ってもそうです。
陰関数はそれと逆にxだけでｙそのものを完全に表現できないのです。たとえば、
y2 = x3
という表現を見てわかるよう、右側のx3という表現にもかかわらずyを表現するにはその自体に2の累乗が必要というわけです。別の言い方をすれば、y =/=x3ということです。xだけでyを完全に表現する手段はないことを、示唆している。
とはいえ、これは絶対的な視点ではありません。つまり、陰関数と陽関数は排他的な存在ではない。たとえば、
y2 = x3
という式の左側のy2はyとの違いがあくまでも、2の累乗ですからそれを取り外すとyと同じになるはず。「公平」という数学のルールだからもし左側から何かを奪ったら右側もそれと同じく何かを奪わなきゃ。ここの「何か」は2の累乗ですから
√y2 = √x3
よって
y =√x3
もしこの視点を取ったら陰関数の曖昧さを取り除けてImplicit Differentiationというものも必要なくなって普通の微分のやり方で導関数を探せるはずだけど…ここはそうするわけにはいかない。なぜなら、そうしたら「semicubical parabola」そのものは存在しなくなって別のものになるためです。もちろん、それにしてもあえて計算してみたら何かの答えが出るはずだったけど正解にはなれないのです。限定に使われる条件が変わっちゃうのです。論理的な同じ関係を表している「y2 = x3」と「y = √x3」であっても、幾何的なグラフにしたらそれぞれの無関係の線になってしまうわけです。
ということでImplicit Differentiationというやり方はどうしても必要です。
導関数はおそらく、日本の皆さんにとって「Abracadabra」のように周知のものかもしれませんがここで自分だけの理解を書いてみたいと思います。
導関数の非特定表現として「dy/dx」とよく言っていますが、点の「瞬時的な」変化を探すためのものだと説明します。変化というと二つのものを、あるいは、違った時点の一つのものを見比べて初めて知るのですが前者なら物理的な違いと言い、後者は時間的な違いと言えるようですね。いずれにしても「二つ」は必要です。でも、微分の絶妙さは、「曖昧さ」を利用して「一つ」だけでも、擬似の「二つ」を模擬して違いを見つけ出す手法です。常識によれば一つの時間的に同じもの自体はい・つ・も不変で何の変化も見当たらないはず。点の変化で言えば空間的な位置が違った二つの点をあったら、もしくは一つの点が時間の流れとともに移動したら「距離」（移動する場合では道のり）という違いがあって点の変化を測ることはできるでしょう？今度はあえて、ほぼ重なり合ったくらい、時間的にも空間的にも無限に近い二つの点の変化はどうなっているんでしょうかという質問への答えの探求は、導関数の目的だと言えるようです。つまり「dy/dx」という表現はいったい何が言いたいのかというと、一つの点だけでも変化が測れるということを、意味しているのです。
先も言ったんですがy=-1/3x + bのｂを求めるには、この関数が代表する直線にある任意の一点の座標がわかることが必要です。候補としてもちろんy2 = x3と垂直に交差する点の座標なのです。
実は、試行錯誤のやり方で交差する点の座標がわかりますが、もしy=8, x=4、y2 = x3という式が満たされている。変数yとxの関係は代数的に知っているけど（y=√x3）より直感的な理解が好きだからやってみました。
その関係はy=8, x=4というケースを通して見られると思います
82 = 43
8 x 8 = 4 x 4 x 4
4 x 2 x 4 x 2 = 4 x 4 x 4
4 x 4 x (2 x 2) = 4 x 4 x 4
2 x 2 = 4だから
よって式の両側が等しいことも一目瞭然です。同じ数の4をかけているからだ（笑）
これでパターンが見つかります。
yは必ずxより大きい
yは必ずxによって完全に割られる
yをｘで割って得られる数は必ず、それを二乗したら再びｘに戻る
以上の条件を満たすためには、yとxの関係が必ず
y = x * √x
ということになる。
まだ覚えていますか？先は代数のやり方でｙとxの関係を見つけること、つまり
y = √x3
ですね。少しの視点変更をしたら、実数で得られた関係を導出することはできる。
√x3
=√(x * x * x)
=(√(x * x)) * (√x)
=x * √x
あるいは、law of indexという、ややエレガントなやり方で
√x3
=x3/2
=x1 + ½
=x * x 1/2
=x * √x
さて、本来の道筋に戻らなきゃ。導関数の課題ですからまずは、y2 = x3のdy/dxを探してみます。chain ruleとpower ruleという導関数のルールも必要です。
d/dx(y2) = d/dx(x3)
2y x dy/dx = 3x2
dy/dx = 3x2 / 2y
Implicit Differentiationの最大の特徴として、解を探し出しても二つの変数が残るままで済むところにある。
ということで、こういう曖昧さを取り除くには、同じ曖昧さの活用が必要なのです。
dy/dxという導関数は漠然と曲線の斜めを表現するものだから、論理的には曲線全体の斜めもdy/dxという形を有し、そして、先、求めたdy/dxの式は3x2 / 2yですね。でも、もう一つの視点で見れば、曲線にある一点だけ、その斜めがわかるんですが、直線と交差する点です。直線の斜めは、xの係数-1/3が与えられるので、垂直に交差する斜めの関係がわかれば曲線の斜め（交差する点しか導出できないけど）も簡単に導出できるはず。もし、m1とm2はそれぞれの斜めを表すとしたら、垂直に交差する斜めの関係として、
m1 x m2 = -1
よって、曲線にある交差点の斜めは必ず、3でなければならないのです。
これを知ったら、二つの視点を並べます。すると
3 = 3x2 / 2y
でも、やはり解が探せませんね。変数はまだ二つのままだから。まだ覚えますか？曲線の式
y2 = x3
からyとxの関係がわかります。もう一度それを書きます。
y = x * √x
これで、yもようやく、xだけで表すので変数をxにだけ絞ります。すると、
3 = 3x2 / 2y
3 = 3x2 / 2(x * √x)
3 = (3/2) * (x2 / (x * √x))
3 * (2/3) = (x2 / (x * √x))
2 = √x
x = 4
y = x * √xですから、
y = 4 * √4
y = 8
よって、交差点の座標は（4 , 8）です。
さあ、交差点の座標がわかると定数bの正体もそろそろですね。やります。
直線の式にこの座標を用いて、すると、
8 = -1/3 * 4 + b
8 = -4/3 + b
b = 8 + 4/3
やや変で整数じゃないけど論理的な答えそうです。というのも、グラフを見てわかるよう、y軸と交差する点は、曲線と交差する点より上のほうにあるのでy軸と交差するy座標の数値も必ず、8より大きいはず。そして 8 + 4/3は明らかに、8より大きいということは納得が行けるでしょう？
以上。
この動きを描写しようとしてもそのための言葉はちょっと頭から抜けているようで諦めましたm(_ _ )m
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久々教科書の練習問題をやってみましたが、やっぱり、教科書の説明はだいたいわかると思い込んだものの実際に宿題をやってみたら全滅という体験は皆にも多いんじゃいないですか（それとも私一人だけ(;^_^A）今回のブログは練習問題への解決まで辿り着く道のりを記録しているものですからやっぱり、こんがらがっているものですみませんでした。
対象となる練習問題はこんなものです。
簡単に言えば、y=-1/3x + bという関数で表す直線が座標系のy軸と交差する座標（つまり、未知の定数ｂ）を求めると要求している練習問題なんです。
そして、示唆してくれる情報として一つだけ
y = -1/3x + bという直線と垂直に交差するもう一つの線として、関数y2 = x3によって表現されるものです。
そもそも、もし、y = -1/3x + bにある任意的な一点を教えてくれたら簡単に済むはずだったが、わざわざこんなに使いにくい情報を教えるなんてうざいけど数学のおもしろさもここにあると思います。もともと易いものを少しの視点転換をすることだけでぐっと難しくなる！逆に言うともし正確な視点を把握したら難しくて難解なものはぐっとたやすいものになる可能性もあるのでこの不安定さこそ、おもしろかったです。
答えを探すためには、implicit differentiationと呼ばれる数学的な手段が必要です。というのも、これはこの教科書の当のテーマなのですm(_ _ )m
実はこの陰関数のコンセプトはとても理解しにくいものだと思いますが、一般なら関数というとy = -1/3x + bというような陽関数を指し示しているんですが、陽関数そのものを簡単に説明してみたら
同じものを二つの独立した視点で描写しているものです。y = -1/3x + bという式で言えば、
yそのものを完全にxだけでも表現できることを意味しているのです。つまり、外見的に大きく違っていても（yという記号vs = -1/3x + bという“フレーズ”）実際、同じものです。はっきりと言ったらyは-1/3x + bによって定義されるのみならずそもそも-1/3x + b自体は、yそのものだと意味している。逆に言ってもそうです。
陰関数はそれと逆にxだけでｙそのものを完全に表現できないのです。たとえば、
y2 = x3
という表現を見てわかるよう、右側のx3という表現にもかかわらずyを表現するにはその自体に2の累乗が必要というわけです。別の言い方をすれば、y =/=x3ということです。xだけでyを完全に表現する手段はないことを、示唆している。
とはいえ、これは絶対的な視点ではありません。つまり、陰関数と陽関数は排他的な存在ではない。たとえば、
y2 = x3
という式の左側のy2はyとの違いがあくまでも、2の累乗ですからそれを取り外すとyと同じになるはず。「公平」という数学のルールだからもし左側から何かを奪ったら右側もそれと同じく何かを奪わなきゃ。ここの「何か」は2の累乗ですから
√y2 = √x3
よって
y =√x3
もしこの視点を取ったら陰関数の曖昧さを取り除けてImplicit Differentiationというものも必要なくなって普通の微分のやり方で導関数を探せるはずだけど…ここはそうするわけにはいかない。なぜなら、そうしたら「semicubical parabola」そのものは存在しなくなって別のものになるためです。もちろん、それにしてもあえて計算してみたら何かの答えが出るはずだったけど正解にはなれないのです。限定に使われる条件が変わっちゃうのです。論理的な同じ関係を表している「y2 = x3」と「y = √x3」であっても、幾何的なグラフにしたらそれぞれの無関係の線になってしまうわけです。
ということでImplicit Differentiationというやり方はどうしても必要です。
導関数はおそらく、日本の皆さんにとって「Abracadabra」のように周知のものかもしれませんがここで自分だけの理解を書いてみたいと思います。
導関数の非特定表現として「dy/dx」とよく言っていますが、点の「瞬時的な」変化を探すためのものだと説明します。変化というと二つのものを、あるいは、違った時点の一つのものを見比べて初めて知るのですが前者なら物理的な違いと言い、後者は時間的な違いと言えるようですね。いずれにしても「二つ」は必要です。でも、微分の絶妙さは、「曖昧さ」を利用して「一つ」だけでも、擬似の「二つ」を模擬して違いを見つけ出す手法です。常識によれば一つの時間的に同じもの自体はい・つ・も不変で何の変化も見当たらないはず。点の変化で言えば空間的な位置が違った二つの点をあったら、もしくは一つの点が時間の流れとともに移動したら「距離」（移動する場合では道のり）という違いがあって点の変化を測ることはできるでしょう？今度はあえて、ほぼ重なり合ったくらい、時間的にも空間的にも無限に近い二つの点の変化はどうなっているんでしょうかという質問への答えの探求は、導関数の目的だと言えるようです。つまり「dy/dx」という表現はいったい何が言いたいのかというと、一つの点だけでも変化が測れるということを、意味しているのです。
先も言ったんですがy=-1/3x + bのｂを求めるには、この関数が代表する直線にある任意の一点の座標がわかることが必要です。候補としてもちろんy2 = x3と垂直に交差する点の座標なのです。
実は、試行錯誤のやり方で交差する点の座標がわかりますが、もしy=8, x=4、y2 = x3という式が満たされている。変数yとxの関係は代数的に知っているけど（y=√x3）より直感的な理解が好きだからやってみました。
その関係はy=8, x=4というケースを通して見られると思います
82 = 43
8 x 8 = 4 x 4 x 4
4 x 2 x 4 x 2 = 4 x 4 x 4
4 x 4 x (2 x 2) = 4 x 4 x 4
2 x 2 = 4だから
よって式の両側が等しいことも一目瞭然です。同じ数の4をかけているからだ（笑）
これでパターンが見つかります。
yは必ずxより大きい
yは必ずxによって完全に割られる
yをｘで割って得られる数は必ず、それを二乗したら再びｘに戻る
以上の条件を満たすためには、yとxの関係が必ず
y = x * √x
ということになる。
まだ覚えていますか？先は代数のやり方でｙとxの関係を見つけること、つまり
y = √x3
ですね。少しの視点変更をしたら、実数で得られた関係を導出することはできる。
√x3
=√(x * x * x)
=(√(x * x)) * (√x)
=x * √x
あるいは、law of indexという、ややエレガントなやり方で
√x3
=x3/2
=x1 + ½
=x * x 1/2
=x * √x
さて、本来の道筋に戻らなきゃ。導関数の課題ですからまずは、y2 = x3のdy/dxを探してみます。chain ruleとpower ruleという導関数のルールも必要です。
d/dx(y2) = d/dx(x3)
2y x dy/dx = 3x2
dy/dx = 3x2 / 2y
Implicit Differentiationの最大の特徴として、解を探し出しても二つの変数が残るままで済むところにある。
ということで、こういう曖昧さを取り除くには、同じ曖昧さの活用が必要なのです。
dy/dxという導関数は漠然と曲線の斜めを表現するものだから、論理的には曲線全体の斜めもdy/dxという形を有し、そして、先、求めたdy/dxの式は3x2 / 2yですね。でも、もう一つの視点で見れば、曲線にある一点だけ、その斜めがわかるんですが、直線と交差する点です。直線の斜めは、xの係数-1/3が与えられるので、垂直に交差する斜めの関係がわかれば曲線の斜め（交差する点しか導出できないけど）も簡単に導出できるはず。もし、m1とm2はそれぞれの斜めを表すとしたら、垂直に交差する斜めの関係として、
m1 x m2 = -1
よって、曲線にある交差点の斜めは必ず、3でなければならないのです。
これを知ったら、二つの視点を並べます。すると
3 = 3x2 / 2y
でも、やはり解が探せませんね。変数はまだ二つのままだから。まだ覚えますか？曲線の式
y2 = x3
からyとxの関係がわかります。もう一度それを書きます。
y = x * √x
これで、yもようやく、xだけで表すので変数をxにだけ絞ります。すると、
3 = 3x2 / 2y
3 = 3x2 / 2(x * √x)
3 = (3/2) * (x2 / (x * √x))
3 * (2/3) = (x2 / (x * √x))
2 = √x
x = 4
y = x * √xですから、
y = 4 * √4
y = 8
よって、交差点の座標は（4 , 8）です。
さあ、交差点の座標がわかると定数bの正体もそろそろですね。やります。
直線の式にこの座標を用いて、すると、
8 = -1/3 * 4 + b
8 = -4/3 + b
b = 8 + 4/3
やや変で整数じゃないけど論理的な答えそうです。というのも、グラフを見てわかるよう、y軸と交差する点は、曲線と交差する点より上のほうにあるのでy軸と交差するy座標の数値も必ず、8より大きいはず。そして 8 + 4/3は明らかに、8より大きいということは納得が行けるでしょう？
以上。