今回は数列です。
入試で覚えておくべきなのは、
等差数列、等比数列、階差数列です。
更に一般形としていくつかの漸化式をマスターしておけば、満点がもらえるでしょう。
一番基本的なのが等差数列です。今回の本科の対象範囲です。
2 5 8 11…の100番目は？
n番目の数字は (n-1)*公差+初項 ですから、(n-1)*3+2=3*n-1 となります。
4年生のときに習ったように、n番目まで間がn-1個あるので、初項に公差のn-1倍を足すわけです。
n=100のとき3*100-1=299が答えになります。
また等差数列の和はガウス君の方法が有名です。
等差数列を左から並べたものと右から並べたものを上下に書いて
2 5 8 11 … 299
299 …11 8 5 2
上下を足すと
301 301…301
と、301が100個並びます。
よって和は301*100の丁度半分の15050になります。
公式では、(初項+末項)*項数/2 となります。
項数は植木算で確実に。
項数=(末項-初項)/公差+1です。
ただし、問題によっては項数が与えられていて末項が与えられていない場合があります。
その場合は末項をn番目の項に置き換えて、項数もnとすると
(初項+(n-1)*公差+初項)*n/2
=(初項-公差)*n+公差/2*n*(n+1)
という式が出てきます。
複雑ですので公式として覚える必要はありません。流れだけでok。
重要なのがここから。
n番目の項が3*n+2と表される数列について、第1項から100項まで足す問題です。
つまりnを1から100まで変えて足していく問題。
きれいに整理すると
3*(1+2+…+100)+2+2+…+2
となります。
等差数列の和はどれもこんな形に整理出来ます。
1+2+…+100はさっきの公式から1/2*100*101で求まります。
2+2+…+2は2*100で求まります。
和の計算で大活躍の
1+2+…+n=1/2*n*(n+1)
は絶対覚えておきましょう。
ついでに
1^2+2^2+…+n^2=1/6*n*(n+1)*(2*n+1)
1^3+2^3+…+n^3=(1/2*n*(n+1))^2
も覚えておけば完璧です。
等比数列にいきましょう。
2 6 18 54…の100番目は？
これは素因数分解するとわかります。
2 2*3 2*3^2 2*3^3…
n番目の数字は 初項*(公比)^(nー1) ですから、2*3^(n-1) となります。
n=100のとき2*3^99=略…が答えになります。
等比数列は数字が大きくなりがちなので、別の視点で問われることがあります。
今の問題は、例えば一の位を求めるなら簡単です。
2 6 8 4 2 6 8 4…の繰り返しなので、100/4=25余り0 より答えは4となります。
等比数列の和はどうでしょうか。
2 2*3 2*3^2 2*3^3…2*3^99の和をsとしてみましょう。
次に全体を公比と同じく3倍してみましょう。
2*3 2*3^2 2*3^3…2*3^100 の和が3*sとなります。
全体を引き算すると、初項と末項の一部が残って
2*3^100-2=(3-1)*s
よってs=2*(3^100-1)/(3-1) となります。
公式はコレだ！
s=初項*(公差^n-1)/(公差-1)
等差数列と等比数列の合わせ技の問題もたまに出てきます。
1 2*3 3*3^2 4*3^3 5*3^4…
n番目はn*3^(n-1)です。
では、和は？
これは、等比数列の和を導いたときと同じように、
まず和をsとおいて、3*sとの差を求めるとスッキリ求まります。
気を取り直して階差数列に行きます。
階差数列は、ある数列の1番目と2番目の差、2番目と3番目の差、というように
差を求めて並べたときに出来る数列です。
例えば、ある数列 2 4 7 11 16 22…の階差数列は2 3 4 5 6…となります。
これはすぐに等差数列とわかります。
つまり、階差数列を用いて、元の数列を求めることができます。
ある数列のn番目の数は、ある数列の初項に階差数列のn-1番目までの和を足せば求まります。
この問題ではある数列のn番目の数は、2+(2+3+4+…+n)で計算できます。
階差数列が等比数列になっている場合もありますが、流れは一緒です。
最後に漸化式ですが、a(n)=a(n-1)+a(n-2)が有名です。
フィボナッチ数列です。
疲れたのでこの辺で。
知っている人はいると思いますが、日能研は何社かの会社によって構成されています。
関東の日能研は２社あります。
いわゆる「本部系」の株式会社日能研と、「関東系」の株式会社日能研関東です。
本部系と関東系ではカリキュラムや教材も若干異なります。
いくつかの校舎を対象としたオプション講座などもありますが、
対象となる校舎を見てみると、関東系と本部系が混ざっていないことに気がつきます。
先生の配属を見てみると、関東系と本部系での人事交流が無いことに気がつきます。
関東系の社長は、本部系を”ライバル”だと公言しています。
インターネットで手に入る情報だけを手がかりに整理してみると、
以下の表が出来上がります。
関東系では私立中高の経営コンサルティングもやっているようです。
学校経営支援、学校案内・募集要項製作・学生募集支援が主な事業内容のようです。
取引先の学校として、淑徳、淑徳与野、十文字、東京聖心女子、武蔵工大附属、有明、
横浜女学院、かえつ有明 などが掲載されています。
学生募集支援というのは・・・？
受験生に対して、取引先の学校の受験を「オススメ」するのかもしれません。
まだ調べていませんが、もし他塾と比べて、これらの学校への合格実績が多いとしたら、
推測は当たっていることでしょう。
私立学校からお金を受け取って良い生徒が集まるように支援することが事業内容で、
私立学校も塾も営利企業ですから、もしこのような「オススメ」が行われているとしても
悪いことでも何でもなく「当然のこと」でしょう。
日能研を、「塾」としてだけでなく「営利企業」として捉えると、新たな面がみえてくるでしょう。
関東の日能研は２社あります。
いわゆる「本部系」の株式会社日能研と、「関東系」の株式会社日能研関東です。
本部系と関東系ではカリキュラムや教材も若干異なります。
いくつかの校舎を対象としたオプション講座などもありますが、
対象となる校舎を見てみると、関東系と本部系が混ざっていないことに気がつきます。
先生の配属を見てみると、関東系と本部系での人事交流が無いことに気がつきます。
関東系の社長は、本部系を”ライバル”だと公言しています。
インターネットで手に入る情報だけを手がかりに整理してみると、
以下の表が出来上がります。
関東系では私立中高の経営コンサルティングもやっているようです。
学校経営支援、学校案内・募集要項製作・学生募集支援が主な事業内容のようです。
取引先の学校として、淑徳、淑徳与野、十文字、東京聖心女子、武蔵工大附属、有明、
横浜女学院、かえつ有明 などが掲載されています。
学生募集支援というのは・・・？
受験生に対して、取引先の学校の受験を「オススメ」するのかもしれません。
まだ調べていませんが、もし他塾と比べて、これらの学校への合格実績が多いとしたら、
推測は当たっていることでしょう。
私立学校からお金を受け取って良い生徒が集まるように支援することが事業内容で、
私立学校も塾も営利企業ですから、もしこのような「オススメ」が行われているとしても
悪いことでも何でもなく「当然のこと」でしょう。
日能研を、「塾」としてだけでなく「営利企業」として捉えると、新たな面がみえてくるでしょう。
今回は地学分野の岩石と地層です。
「小石と砂と泥」が川のどの当たりに積もるのかを１セット覚えておけば、
川の流れが速くなった場合と海面が低くなった場合には、セットを下流にずらし、
川の流れが遅くなった場合と海面が高くなった場合には、セットを上流にずらせば良いのです。
岩石は、語呂合わせで覚えればＯＫです。
火山岩と深成岩、合わせて火成岩。
火山岩は、流産、安産、元気な子。
深成岩は、先公、囲んで、半殺し。
堆積岩は、がれき、砂、泥。
地層の方は、コツも何もないので、単純暗記しかないでしょう。
断層については、引っ張って出来たのか、押されて出来たのかの違いは要チェックです。
地震は、単語の意味を理解しながら覚えていけば良いでしょう。
出題されるのは、大抵以下の２つです。
・マグニチュードと震度の違い。
・Ｐ波とＳ波の違い。
Ｐ波はプライマリーのＰです。速度が速い、縦波、初期微動のセットで覚えます。
Ｓ波はセカンダリーのＳです。速度が遅い、横波、主要動のセットで覚えます。
緊急地震速報は、P波とS波の到達時間の差を解析して予測しているのです。
理科のこの分野は、暗記が主流ですので、頑張ってください。
「小石と砂と泥」が川のどの当たりに積もるのかを１セット覚えておけば、
川の流れが速くなった場合と海面が低くなった場合には、セットを下流にずらし、
川の流れが遅くなった場合と海面が高くなった場合には、セットを上流にずらせば良いのです。
岩石は、語呂合わせで覚えればＯＫです。
火山岩と深成岩、合わせて火成岩。
火山岩は、流産、安産、元気な子。
深成岩は、先公、囲んで、半殺し。
堆積岩は、がれき、砂、泥。
地層の方は、コツも何もないので、単純暗記しかないでしょう。
断層については、引っ張って出来たのか、押されて出来たのかの違いは要チェックです。
地震は、単語の意味を理解しながら覚えていけば良いでしょう。
出題されるのは、大抵以下の２つです。
・マグニチュードと震度の違い。
・Ｐ波とＳ波の違い。
Ｐ波はプライマリーのＰです。速度が速い、縦波、初期微動のセットで覚えます。
Ｓ波はセカンダリーのＳです。速度が遅い、横波、主要動のセットで覚えます。
緊急地震速報は、P波とS波の到達時間の差を解析して予測しているのです。
理科のこの分野は、暗記が主流ですので、頑張ってください。
順番が逆になりましたが、今回は差集め算・過不足算・つるかめ算です。
名前は色々と付いていますが、要するに
差集め算と過不足算が「未知数１の方程式」で、
例えば ２×□＋１ ＝ ４×□－３ を解くという問題です。
解き方は簡単。
□の項と、数字の項に整理するだけです。
上の式では、 ２×□ ＝ ４ と整理できるので、□ ＝ ２ です。
差集め算は左右の定数項の部分符号が同じ、つまり
２×□＋５＝４×□＋１
あるいは
２×□－３＝４×□－７
というような問題です。
過不足算は左右の定数項の符号部分が異なる、つまり
２×□＋１＝４×□－３
あるいは
４×□－３＝２×□＋１
というような問題です。
つるかめ算が「未知数２の連立方程式」で、
例えば ２×□＋△ ＝２５ と □＋２×△＝２０ を解くという問題です。
ということで、サッサと方程式と連立方程式をマスターしてしまいましょう。
「未知数１の方程式」は、すでに何度も全国公開模試の大問１の逆算問題で出題されているので、
分からない変数を□とおいて方程式さえ作れれば、すぐに解けるでしょう。
「未知数２の連立方程式」は、いきなりマスターするのは大変です。
＋と－の理解と、同類項の加減をマスターした上で、
代入法か加減法のどちらかで解くことを学ばなくてはいけません。
これはじっくり時間をかけて教える必要があります。
難問になると、線分図で解くには複雑になりすぎることがあるので、
「数式で解き切る」方法も一つの手段です。
ただし、何でも数式で解こうとすると、未知数が３になったりして、公立高校１年生で習うレベルの知識が必要になることもありますので、要注意！
名前は色々と付いていますが、要するに
差集め算と過不足算が「未知数１の方程式」で、
例えば ２×□＋１ ＝ ４×□－３ を解くという問題です。
解き方は簡単。
□の項と、数字の項に整理するだけです。
上の式では、 ２×□ ＝ ４ と整理できるので、□ ＝ ２ です。
差集め算は左右の定数項の部分符号が同じ、つまり
２×□＋５＝４×□＋１
あるいは
２×□－３＝４×□－７
というような問題です。
過不足算は左右の定数項の符号部分が異なる、つまり
２×□＋１＝４×□－３
あるいは
４×□－３＝２×□＋１
というような問題です。
つるかめ算が「未知数２の連立方程式」で、
例えば ２×□＋△ ＝２５ と □＋２×△＝２０ を解くという問題です。
ということで、サッサと方程式と連立方程式をマスターしてしまいましょう。
「未知数１の方程式」は、すでに何度も全国公開模試の大問１の逆算問題で出題されているので、
分からない変数を□とおいて方程式さえ作れれば、すぐに解けるでしょう。
「未知数２の連立方程式」は、いきなりマスターするのは大変です。
＋と－の理解と、同類項の加減をマスターした上で、
代入法か加減法のどちらかで解くことを学ばなくてはいけません。
これはじっくり時間をかけて教える必要があります。
難問になると、線分図で解くには複雑になりすぎることがあるので、
「数式で解き切る」方法も一つの手段です。
ただし、何でも数式で解こうとすると、未知数が３になったりして、公立高校１年生で習うレベルの知識が必要になることもありますので、要注意！
今回は場合の数です。
場合の数は、問題をどのように解釈するかが重要です。
「４人の中から３人を選ぶ組合せは？」
という問題を解こうとすると、普通は樹形図を書いて
A-B-C
A-B-D
A-C-D
B-C-D
の４通りとなります。
ところが、問題を逆に考えて、
「４人の中から仲間外れの１人を選ぶ組合せ」
を考えても良いわけです。
仲間はずれは４人のうち１人を選べば良いので、一瞬で答えが４通りと分かります。
このように、与えられた問題の意味を変えることなく、うまく解釈することで
急激に簡単になったりすることが結構あります。
また、良くある問題で、
「大小のさいころを振って、出た目の積が偶数になる場合」
というものがあります。
これも、まともに偶数になる場合を計算すると厄介です。
ベン図の考え方を用いて
全体の場合の数から奇数の場合の数を引けば、残りが偶数の場合の数になる
ことが分かるので、
６×６ － ３×３ ＝ ２７通り
と一瞬で答えが出ます。
数字の並べ替えは頻出です。
大抵は以下のような問題になり、０が入ったり、同じ数が複数出てくると正答率が下がるでしょう。
０以外の数字を並べ替える問題
「１，２，３，４，５，６」から３桁の数字を作る
⇒これは単純な順列の問題で、百の位は６通り、十の位は５通り、一の位は４通りなので
６×５×４＝１２０通り となります。
０が含まれる問題
「０，１，２，３，４，５」から３桁の数字を作る
⇒百の位が０に出来ないため、百の位は０以外の５通りで、十の位は残りの５通り、
一の位は４通りで
５×５×４＝１００通り となります。
同じ数が含まれる問題
「１，１，２，３，４，５」から３桁の数字を作る
⇒まず、「１，２，３，４，５」から３桁の数字を作る場合を考えると、５×４×３＝６０通り。
ただしこれでは１が２個入っている場合の数が入っていません。
そこで、「○１１」「１○１」「１１○」の３通りの型に対して２，３，４，５のどれかを入れる場合を考えます。
３×４＝１２通りが追加されます。
よって、６０＋１２＝７２通りとなります。
同じ数が含まれて０も含まれる問題
「０，１，１，２，３，４」から３桁の数字を作る
⇒まず、「０，１，２，３，４」から３桁の数字を作る場合を考えると、４×４×３＝４８通り。
ただしこれでは１が２個入っている場合の数が入っていません。
そこで、「○１１」「１○１」「１１○」の３通りの型に対して０，２，３，４のどれかを入れる場合を考えます。
０が百の位になる場合を除外するので、３×４－１＝１１通り。
よって、４８＋１１＝５９通りとなります。
本科の解答に注意書きがあった、グループ分けの問題は、場合の数で一番混乱する所です。
８人の子供から６人のそうじ係と２人の給食係を決める場合の数＝２８通り
８人の子供を６人と２人に分ける場合の数＝２８通り
８人の子供から４人のそうじ係と４人の給食係を決める場合の数＝７０通り
８人の子供を４人と４人に分ける場合の数＝３５通り ★要注意！
大小合わせて２個のサイコロを振って出る組合せの数＝３６通り
同じ大きさのサイコロを２つ振って出る組合せの数＝２１通り ★要注意！
最後に、お金などの組合せの問題は、「大きい順に樹形図」が鉄則ですが、
面倒なので説明しないでおきましょう。
カリテの応用か記述か全国模試には以下の問題が出る可能性があります。
「１，２，３，４，５，６，７，８，９」から３桁の数字を作る場合の数は
９×８×７＝５０４通り のように計算できますが、
３つの数字を選ぶ組合せの数は
９×８×７÷（３×２×１）＝８４通り のように計算できます。
なぜ組合せの場合は３×２×１で割るのか説明しなさい。
下記の内容が書いてあれば○がもらえるでしょう。
・５０４通りの方は数字の並びが異なる場合も数えているが、８４通りの方は組合せの場合は数えない。
・ある３つの数字について、並べ替え方は３×２×１通りある。
あとは、「２，４，６，８，１０，１２」からいくつかの数字を選んで４桁の数字を作ります。
何通りの数字ができるか答えなさい、という問題です。
１桁の数字だけの場合
４つの数字から４つ選んで並べるので、
４×３×２×１＝２４通り
１桁の数字２つと２桁の数字１つの場合
１桁の数字を２つ選んでくる場合の数は４×３÷２＝６通り。
２桁の数字を１つ選んでくる場合の数は２通り。
合わせて６×２＝１２通り。
選んだあとに、これを並び替えるのは以下の３通り。
○○● ○●○ ●○○
よって、１２×３＝３６通り。
２桁の数字２つの場合
２つの数字から２つ選んで並べるので、
２通り。
よって、１２＋３６＋２＝５０通りが答えになります。