今回は数列です。
入試で覚えておくべきなのは、
等差数列、等比数列、階差数列です。
更に一般形としていくつかの漸化式をマスターしておけば、満点がもらえるでしょう。
一番基本的なのが等差数列です。今回の本科の対象範囲です。
2 5 8 11…の100番目は？
n番目の数字は (n-1)*公差+初項 ですから、(n-1)*3+2=3*n-1 となります。
4年生のときに習ったように、n番目まで間がn-1個あるので、初項に公差のn-1倍を足すわけです。
n=100のとき3*100-1=299が答えになります。
また等差数列の和はガウス君の方法が有名です。
等差数列を左から並べたものと右から並べたものを上下に書いて
2 5 8 11 … 299
299 …11 8 5 2
上下を足すと
301 301…301
と、301が100個並びます。
よって和は301*100の丁度半分の15050になります。
公式では、(初項+末項)*項数/2 となります。
項数は植木算で確実に。
項数=(末項-初項)/公差+1です。
ただし、問題によっては項数が与えられていて末項が与えられていない場合があります。
その場合は末項をn番目の項に置き換えて、項数もnとすると
(初項+(n-1)*公差+初項)*n/2
=(初項-公差)*n+公差/2*n*(n+1)
という式が出てきます。
複雑ですので公式として覚える必要はありません。流れだけでok。
重要なのがここから。
n番目の項が3*n+2と表される数列について、第1項から100項まで足す問題です。
つまりnを1から100まで変えて足していく問題。
きれいに整理すると
3*(1+2+…+100)+2+2+…+2
となります。
等差数列の和はどれもこんな形に整理出来ます。
1+2+…+100はさっきの公式から1/2*100*101で求まります。
2+2+…+2は2*100で求まります。
和の計算で大活躍の
1+2+…+n=1/2*n*(n+1)
は絶対覚えておきましょう。
ついでに
1^2+2^2+…+n^2=1/6*n*(n+1)*(2*n+1)
1^3+2^3+…+n^3=(1/2*n*(n+1))^2
も覚えておけば完璧です。
等比数列にいきましょう。
2 6 18 54…の100番目は？
これは素因数分解するとわかります。
2 2*3 2*3^2 2*3^3…
n番目の数字は 初項*(公比)^(nー1) ですから、2*3^(n-1) となります。
n=100のとき2*3^99=略…が答えになります。
等比数列は数字が大きくなりがちなので、別の視点で問われることがあります。
今の問題は、例えば一の位を求めるなら簡単です。
2 6 8 4 2 6 8 4…の繰り返しなので、100/4=25余り0 より答えは4となります。
等比数列の和はどうでしょうか。
2 2*3 2*3^2 2*3^3…2*3^99の和をsとしてみましょう。
次に全体を公比と同じく3倍してみましょう。
2*3 2*3^2 2*3^3…2*3^100 の和が3*sとなります。
全体を引き算すると、初項と末項の一部が残って
2*3^100-2=(3-1)*s
よってs=2*(3^100-1)/(3-1) となります。
公式はコレだ！
s=初項*(公差^n-1)/(公差-1)
等差数列と等比数列の合わせ技の問題もたまに出てきます。
1 2*3 3*3^2 4*3^3 5*3^4…
n番目はn*3^(n-1)です。
では、和は？
これは、等比数列の和を導いたときと同じように、
まず和をsとおいて、3*sとの差を求めるとスッキリ求まります。
気を取り直して階差数列に行きます。
階差数列は、ある数列の1番目と2番目の差、2番目と3番目の差、というように
差を求めて並べたときに出来る数列です。
例えば、ある数列 2 4 7 11 16 22…の階差数列は2 3 4 5 6…となります。
これはすぐに等差数列とわかります。
つまり、階差数列を用いて、元の数列を求めることができます。
ある数列のn番目の数は、ある数列の初項に階差数列のn-1番目までの和を足せば求まります。
この問題ではある数列のn番目の数は、2+(2+3+4+…+n)で計算できます。
階差数列が等比数列になっている場合もありますが、流れは一緒です。
最後に漸化式ですが、a(n)=a(n-1)+a(n-2)が有名です。
フィボナッチ数列です。
疲れたのでこの辺で。