久々の数学トピックですね。
今日から、「文系数学の良問プラチカ」に手を出すことにしました。
月～木：プラチカ進める
金：青チャートor一対一の例題復習
土日：プラチカ復習
というサイクルで行こうと思います。
さて、文系数学の良問プラチカのⅡBの最初のほうにあった問題です。
正の数 a, b に対して、 √a+√b ≦ k√(a+b) がつねに成り立つような k の最小値を求めよ。
模範解答とは違いますが、僕は↓のように解きました。
まず、この等式が成り立つには、明らかにk>0となります。
そこで、両辺の平方の差を引くと、
k^2(a+b) - {a+b-2√(ab)}
=(k^2-1)a-2√(ab)+(k^2-1)b≧0
が正の数a,bについて、つねに成り立てばいいということ。
a,bについての対称式が現れました。
ここで、これらをそのままa,bで処理するのではなくて、思い切って
c=√a d=√b などとおいてみます。
a,bという具合にキレイな数字があるのに、わざわざ√a=cなどとおくのは、試験では結構勇気が要ります（笑）
そうすると、
(k^2-1)c^2-2dc+(k^2-1)d^2≧0
となります。
カンのいい人ならもうお気づきでしょう。わざと「cd」を「dc」という風に順番を変えたのを。
すなわち、cについての二次方程式とみて、判別式を使うのです。
さっき言ったように、この式は対称式ですから、cの二次方程式と見てもdの二次方程式と見ても、これが成り立つ条件は、
1-(k^2-1)^2≦0
になっちゃうんです。
これを変形して、
(k^2-1)^2≧1
⇔ k^2-1≧1 (∵ k^2-1>-1)
⇔k^2≧2
⇔k≧√2
したがって、求める最小値は、k=√2 となるのが分かりますね＾＾
中々不思議な感じですね。aをわざわざ二乗に直して答えを得るなんて。
数学ってのは不思議なものです。だから、難しいのです。