K( 1/√5 )
= ( √5/2 )∫ 1/√( ( 1-x^2 )( 1+x^2/4 ) ) dx ( x = 0 〜 1 )
= ( √5/2 )∫ 1/√( t( t-1 )( 4t+1 ) ) dt ( t = 1 〜 ∞ ) : x = 1/√t
= ( √5/2 )∫ 1/√( 4u^3-( 7/4 )u-3/8 ) du ( u = 3/4 〜 ∞ )
楕円曲線 C : y^2 = 4u^3-( 7/4 )u-3/8
( e1 , e2 , e3 ) = ( 3/4 , -1/4 , -1/2 )
k = 1/√5
⇒
K( k )/√( e1-e3 )
= K( 1/√5 )/( √5/2 )
= ∫ 1/y du ( u = e1 〜 ∞ )
= ∫ 1/√( 4u^3-( 7/4 )u-3/8 ) du ( u = 3/4 〜 ∞ )
になっている.
このとき
∫ 1/√( 4u^3-( 7/4 )u-3/8 ) du ( u = 3/4 〜 ∞ )
= √3∫ 1/√( ( 2x-x^2 )( 4x^2+9 ) ) dx ( x = 0 〜 2 )
= √3∫ 1/√( ( 2t-1 )( 4+9t^2 ) ) dt ( t = 1/2 〜 ∞ ) : x = 1/t
= √3( 1/√18 )1/√( u^3+( 13/36 )u-17/108 ) du ( u = 1/3 〜 ∞ )
？？？