πを求める

τ

= √-2 : 

k( τ )

= √2-1

k’( τ )

= √( 2k( τ ) )

( a0 , b0 )

= ( 1 , k’( τ ) )

( a1 , b1 )

= ( ( a0+b0 )/2 , √( a0b0 ) )

( a2 , b2 )

= ( ( a1+b1 )/2 , √( a1b1 ) )

( a3 , b3 )

= ( ( a2+b2 )/2 , √( a2b2 ) )

・・・・・・・

とすると

an , bn

→ A.G.M.( 1 , k’( τ ) ) ( n → ∞ )

そこで

C

= 1-Σ2^( n-1 )( an^2-bn^2 ) ( n = 0 , 自然数 )

として

π

= A.G.M.( 1 , k’( τ ) = √( 2( √2-1 ) ) )^2/( √2C-1 )

Remark :

τ

= √-1 :

C

= 1-Σ2^n( an^2-bn^2 ) ( n = 0 , 自然数 )

π

= A.G.M.( 1 , k’( τ ) = 1/√2 )^2/( C/2 )