θ3( 0 | τ )^2
=
1/A.G.M.( 1 , k’( τ ) = ( f2( τ )/f( τ ) )^4 ) : Gauss + Jacobi
を使って
( η( τ )f( τ )^2 )^2
=
f( τ )^4/A.G.M.( f( τ )^4 , f2( τ )^4 )
⇒
η( τ )^2
=
1/A.G.M.( f( τ )^4 , f2( τ )^4 )
ところで
√ab : 相乗平均
≦
A.G.M.( a , b ) : 算術幾何平均
≦
( a+b )/2 : 相加平均
( a , b ＞ 0 )
だから
τ
= √-t ( t ＞ 0 )
として
η( τ )^2
≦
1/( f( τ )f2( τ ) )^2
⇒
η( τ )
≦
1/( f( τ )f2( τ ) )
= f1( τ )/√2
⇔
√2
≦
f1( τ )/η( τ )
= η( τ/2 )/η( τ )^2
q.e.d
特に
f1( √-1 )/η( √-1 ) = 1.4195152894 ・・・
≧
√2
になっている.