先ず
( ( 1-q^2 )( 1-q^4 )( 1-q^6 )( 1-q^8 )( 1-q^10 ) ・・・)
( ( 1-q^1 )( 1-q^3 )( 1-q^5 )( 1-q^7 )( 1-q^9 ) ・・・ )^2
=
Σ ( -1 )^nq^( n^2 ) ( n = 整数 ) : Jacobi？
が成り立つ.
そこで
η( τ )
=
q^( 1/12 )( 1-q^2 )( 1-q^4 )( 1-q^6 )( 1-q^8 )( 1-q^10 ) ・・・
f1( τ )
=
q^( -1/24 )( 1-q^1 )( 1-q^3 )( 1-q^5 )( 1-q^7 )( 1-q^9 ) ・・・
θ4( 0 | τ )
=
Σ ( -1 )^nq^( n^2 ) ( n = 整数 )
と置くと
θ4( 0 | τ )
=
η( τ )f1( τ )^2
が成り立つ.