η( τ )
= q^( 1/12 )Π( 1-q^( 2m ) ) ( m : 自然数 )
とすると
η( 2τ )/η( τ ) = 2^( -1/3 )( k( τ )^2/k’( τ ) )^( 1/12 )
= q^( 1/12 )Π( 1+q^( 2m ) ) ( m : 自然数 )
= q^( 1/12 )( 1+q^2+q^4+2q^6+2q^8+3q^10+ ・・・ )
〜 q^( 1/12 )1 ( q 〜 0 )
= exp( -πt/12 ) ( τ = t√-1 ( t＞0 ) )
⇒
π
〜 ( 1/t )( 4ln2+ln( k’( τ )//k( τ )^2 ) )
t = 1 : π 〜 3.119162313 ・・・
t = √2 : π 〜 3.140418683 ・・・
t = √3 : π 〜 3.141462551 ・・・
t = 2 : π 〜 3.141571729 ・・・
t = √7 : π 〜 3.14159238 ・・・
t = √11 : π 〜 3.1415926504 ・・・
t = √19 : π 〜 3.1415926536 ・・・
t = √43 : π 〜 3.1415926536 ・・・