楕円 E : ( ax )^2+( by )^2 = 1 ( a , b＞0 )
に対して
( x , y )
= ( rcosθ , rsinθ )
と変換して
r^2
= 1/( ( acosθ )^2+( bsinθ )^2 )
r
= 1/√( ( acosθ )^2+( bsinθ )^2 ) : 極方程式 of E
⇒
面積S of E
= 4∫ ( 1/2 )r^2 dθ ( θ = 0 〜 π/2 )
= 2∫ 1/( ( acosθ )^2+( bsinθ )^2 ) dθ ( θ = 0 〜 π/2 )
周長l of E
= 4∫ r dθ ( θ = 0 〜 π/2 )
= 4∫ 1/√( ( acosθ )^2+( bsinθ )^2 ) dθ ( θ = 0 〜 π/2 )
= 4I( a , b )
になっている.
ところが
S
= : x = cosτ/a と置換積分
π/ab
なので
∫ 1/( ( acosθ )^2+( bsinθ )^2 ) dθ ( θ = 0 〜 π/2 )
= π/2ab
更に
I( a , b )
= I( ( a+b )/2 , √ab )
= ・・・・・・・
= ( 1/A.G.M.( a , b ) )( π/2 ) : Gauss
なので
l
= 2π/A.G.M.( a , b )
になっている.
特に
( a , b )
= ( 1 , √2 )
とすると
∫ 1/( 3-cosτ ) dτ ( τ = 0〜π )
= π/2√2