x
= k(τ)
y
= k( 5τ)
と置くと
x^6-4x^5y^5+5x^4y^2-5x^2y^4+4xy-y^6
= 0 : Jacobi-modular方程式( 未定係数法 )
になっている.
これを
( x^6+5x^4y^2-5x^2y^4-y^6 )^2
= ( 4x^5y^5-4xy )^2
と変形して整理すると
( x^2-y^2 )^6
= 16x^2y^2( 1-x^8 )( 1-y^8 )
となって
( √k(τ)-√k( 5τ) )^6/( √( k(τ)k( 5τ) )( k’(τ)k’( 5τ) )^2 )
= 16
⇔
a
=θ2( 0 |τ)θ3( 0 | 5τ)
b
= θ3( 0 |τ)θ2( 0 | 5τ)
c
= θ4( 0 |τ)θ4( 0 | 5τ)
として
( a-b )^6/( abc^4 )
= 16
q.e.d.
Excel検算 :
τ
= √-1
として
q
= exp(π√-1τ)
= exp( -π)
q’
= exp(π√-15τ)
= q^5
= exp( -5π)
1/q
〜 ( 4/k(τ) )^2-8
1/q’
〜 ( 4/k( 5τ) )^2-8
⇔
k(τ)
〜 4/√( expπ+8 )
k( 5τ)
〜 4/√( exp5π+8 )
⇒
( √k(τ)-√k( 5τ) )^6/( √( k(τ)k( 5τ) )( k’(τ)k’( 5τ) )^2 )
= 17.0576177・・・・・・・
という事は
逆に
x^6-4x^5y^5+5x^4y^2-5x^2y^4+4xy-y^6
= 0
⇒
x
= k(τ)
y
= k( 5τ)
になっている.