f(τ)
= √k(τ)√k( 3τ)
g(τ)
= √k’(τ)√k’( 3τ)
と置くと
f(τ+3 )+g(τ+3 )
= -f(τ)/g(τ)+1/g(τ)
f(τ/( 3τ+1 ) )+g(τ/( 3τ+1 ) )
= 1/f(τ)-g(τ)/f(τ)
そこで
恒等的に
f(τ+3 )+g(τ+3 )
= f(τ)+g(τ)
f(τ/( 3τ+1 ) )+g(τ/( 3τ+1 ) )
= f(τ)+g(τ)
とすると
f(τ)+g(τ)
= Constant
になっている. : 定理( Siegel )
実際
-f(τ)/g(τ)+1/g(τ)
= 1/f(τ)-g(τ)/f(τ)
⇒
f(τ)+g(τ) = √k(τ)√k( 3τ)+√k’(τ)√k’( 3τ)
= 1
q.e.d.