k(τ)
= (θ2( 0 |τ)/θ3( 0 |τ) )^2 : k-θ公式
K( k(τ/2 ) )
= ( 1+k(τ) )K( k(τ) ) : Landen変換
θ3( 0 |τ/2 )^2
= θ3( 0 |τ)^2+θ2( 0 |τ)^2
= ( 1+k(τ) )θ3( 0 |τ)^2
⇒
1+k(τ)
= K( k(τ/2 ) )/K( k(τ) )
= θ3( 0 |τ/2 )^2/θ3( 0 |τ)^2
⇒
K( k(τ) )
= τに無関係なConstant ×θ3( 0 |τ)^2
= C( 1+2( q+q^4+q^9+・・・) )^2
= C( 1+4q+O( q^2 ) )
の形に書ける・・・
ところで
K( k(τ) )
= (π/2 )
( 1
+( 1/2 )^2k(τ)^2
+( 3/8 )^2k(τ)^4
+( 15/48 )^2k(τ)^6
+ ・・・ )
で
k(τ)^2
= (θ2( 0 |τ)/θ3( 0 |τ) )^4
= 16q( ( 1+q^2+q^6+q^12+q^20+q^30+・・・ )
/( 1+2( q+q^4+q^9+q^16+q^25+・・・ ) )^4
= 16q( 1-2q+4q^2-8q^3+・・・ )^4 : 未定係数法
⇒
K( k(τ) )
= (π/2 )( 1+4q+O( q^2 ) )
⇒
C
=π/2
⇒
K( k(τ) )
= (π/2 )θ3( 0 |τ)^2
θ3( 0 |τ)^2
=
1+2( q+q^4+q^9+q^16+q^25+・・・ ) : q-展開
=
1
+( 1/2 )^2k(τ)^2
+( 3/8 )^2k(τ)^4
+( 15/48 )^2k(τ)^6
+ ・・・ : k-展開
q.e.d.？