J(τ= ( 1+√-m )/2 )
〜 2^8( w-1 )^3/w
w
= 2^8/( exp( √mπ)+2^6 )
で近似される.
1/q = exp( -√mπ/2 )√-1
〜 ( 4/k )^2-8
⇔
k^2
〜 2^4/( 1/q+2^3 )
= 2^4( 2^3+exp( √mπ/2 )√-1 )/( 2^6+exp( √mπ) )
= r( cosθ+√-1sinθ)
とすると
r
= 2^4/√( 2^6+exp( √mπ) )
cosθ
= 2^3/√( 2^6+exp( √mπ) )
= r/2
k
〜 √r( cos(θ/2 )+√-1sin(θ/2 ) )
= √( 2cosθ)( √( ( 1+cosθ)/2 )+√-1√( ( 1-cosθ)/2 ) )
= √cosθ( √( 1+cosθ)+√-1√( 1-cosθ) )
になっている.
kの近似値が求まる！
のが素晴らしい・・・
そこで
J(τ)
= 2^8( k^4-k^2+1 )^3/( k^4-k^2 )^2
= 2^8( s+1 )^3/s^2
を考える.
s
= -k^2k’2
k^2
〜 2cosθ( cosθ+√-1sinθ)
k’^2
〜 -( cos2θ+√-1sin2θ)
⇒
s
〜 2cosθ( cos3θ+√-1sin3θ)
| J(τ) |
= 2^8| s+1 |^3/| s |^2
| s |
〜 2cosθ
| s+1 |
〜 ( 2cosθ)^2-1
⇒
| J(τ) |
〜 2^8( ( 2cosθ)^2-1 )^3/( 2cosθ)^2
そこで
w
= ( 2cosθ)^2
= 2^8/( 2^6+exp( √mπ) )
と置くと
| J(τ) |
〜 2^8( w-1 )^3/w
ところが
J(τ) : 実数？
だから
J(τ)
〜 2^8( w-1 )^3/w
q.e.d.
m+1
= 4q
として
( m , q ) : ( prime , prime )
= ( 7 , 2 )
( 11 , 3 )
( 19 , 5 )
( 43 , 11 )
( 67 , 17 )
( 163 , 41 )
⇒
k
〜 1/8+√-7/8 ,
・・・・
0.00017671・・・( 1+√-1 )
J(τ)^( 1/3 )
〜 15 ,
32 ,
96 ,
960 ,
5280 ,
640320 : Excel検算
が出て来る.