∫ 1/√( 4x^3+4 ) dx ( x = -1〜∞ )
= ( 1/2 )B( 1/3 ,1/2 )
= ∫ ( cosθ)^( -1/3 ) dθ(θ= 0〜π/2 )
なる意味不明な式が出て来た.
如何も
B( 1/3 , 1/2 )
= 3∫ 1/√( x^6-1 ) dx ( x = 1〜∞ )
みたい・・・
P(ω)
= e1
P(ω’ )
= e3
⇒
P(ω+ω’ )
= e2 : P-加法定理
でした.
すると
P(ω+ω’ ) = e2
= e3+( e1-e3 )/sn( √( e1-e3 )(ω+ω’ ) , k )^2
⇔
sn( √( e1-e3 )(ω+ω’ ) , k )^2
= ( e1-e3 )/( e2-e3 )
= ( 1/k )^2
⇔
sn( √( e1-e3 )(ω+ω’ ) , k )
= 1/k
⇔
√( e1-e3 )(ω+ω’ ) = K( k )+K’( k )√-1
= ∫ 1/√( ( 1-x^2 )( 1-( kx )^2 ) ) dx ( x = 0〜1/k )
: Jacobi-虚数変換
q.e.d.
P-加法定理
から
Jacobi-虚数変換
が出て来る
ということか！
Remark1 :
∫ 1/√( 4x^3-4 ) dx ( x = 1〜∞ )
= ( 1/6 )B( 1/6 , 1/2 )
になっている.
x
= ( cosθ)^( -2/3 )
と置換積分すると
∫ 1/√( x^3-1 ) dx ( x = 1〜∞ )
= ( 2/3 )∫ ( cosθ)^( -2/3 ) dθ(θ= 0〜π/2 )
= ( 1/3 )B( 1/6 , 1/2 )
⇒
∫ 1/√( 4x^3-4 ) dx ( x = 1〜∞ )
= ( 1/6 )B( 1/6 , 1/2 )
q.e.d.
Remark2 :
∫ 1/√( x^3+1 ) dx ( x = 0〜∞ )
= ( 1/3 )B( 1/6 , 1/3 ) ( x = ( tanθ)^( 2/3 )と置換積分 )
⇒
∫ 1/√( x^3+1 ) dx ( x = -1〜∞ )
= ( 3/2 )∫ 1/√( x^3+1 ) dx ( x = 0〜∞ )
= ( 1/2 )B( 1/6 , 1/3 )
= ( 1/2 )2B( 1/3 , 1/2 )
= B( 1/3 , 1/2 )
= 3^( 1/4 )π/A.G.M.( 1 , cos(π/12 ) )
q.e.d.