楕円曲線 C : y^2 = 4x^3-11x-7
( e1 , e2 , e3 )
= ( 1/2+√2 , 1/2-√2 , -1 )
k
= ( √2-1 )^2
⇒
K( k )
= ( ( 1+√2 )/4 )(π/A.G.M.( 1 , √2 ) )
⇒
τ
= √-4
q
= exp( -2π)
α
= K( k )/√( e1-e3 )
= ( 1/2√2 )(π/A.G.M.( 1 , √2 ) )
E( k )
= ( 1/2 )(π/A.G.M.( 1 , √2 )+( √2-1 )A.G.M.( 1 , √2 ) )
⇒
ζ(α)
= √( e1-e3 )E( k )-e1α
= ( 1/4√2 )(π/A.G.M.( 1 , √2 )+2A.G.M.( 1 , √2 ) )
⇒
1-24Σn/( exp( 4nπ)-1 ) ( n = 自然数 )
= ( 3/4 )( ( 1/A.G.M.( 1 , √2 ) )^2+2/π)
= 0.999916303・・・ : Excel検算
q.e.d.
因みに
1+240Σn^3/( exp( 4nπ)-1 ) ( n = 自然数 )
= ( 33/16 )( 1/A.G.M.( 1 , √2 ) )^4
1-504Σn^5/( exp( 4nπ)-1 ) ( n = 自然数 )
= ( 189/64 )( 1/A.G.M.( 1 , √2 ) )^6
になっている.