E( √2 )
= ∫ √( ( 1-2r^2 )/( 1-r^2 ) ) dr ( r = 0〜1 )
= ∫ √＋ dr ( r = 0〜1/√2 ) : 実数
+∫ √ー dr ( r = 1/√2〜1 ) : 虚数
と２つに分ける.
r
= sin(θ/2 )
と置換積分して
∫ √＋ dr ( r = 0〜1/√2 )
= ( 1/4 )B( 3/4 , 1/2 )
= ( 1/4 )2A.G.M.( 1 , √2 )
= A.G.M.( 1 , √2 )/2
∫ √ー dr ( r = 1/√2〜1 )
= √-1A.G.M.( 1, √2 )/2
⇒
E( √2 )
= ( ( 1+√-1 )/2 )A.G.M.( 1 , √2 )
q.e.d.