特殊解

特に

C1

= 1/2

とすると

特殊解 :

u

= ( 1/2 )exp( 2t )

x

= ( exp( -2t )+exp( 2t ) )/2 = cosh( 2t )

y

= ( exp( -2t )-exp( 2t ) )/2 = -sinh( 2t )

⇒

双曲線 : x^2-y^2

= 1 : integral curve of χ = 2y( ∂/∂x )+2x( ∂/∂y )

以上まとめて

双曲線 : x^2-y^2 = 1

の媒介変数表示は

( x , y )

= ( 1/cosθ , tanθ) : 三角関数

= ( cosh( 2t ) , -sinh( 2t ) ) : 双曲線関数

= ( 1/4Cexp( 2t )+Cexp( 2t ) , 1/4Cexp( 2t )-Cexp( 2t ) )

: 指数関数

これ以外に有るか・・・・・・・