(α)
= (α1 , ・・・,αn ) ∈ V( P ) ⊂ C^n
φ(αi )
= αi+P ( i = 1〜n )
⇒
1 to 1 準同型 ψ : R/P ⊃ C → C ⊂ R/P
に対して
ψ(αi+P )
= βi+P ( i = 1〜n )
(β)
= (β1 , ・・・,βn )
とする.
3 )
(α) ∈ V( P )
⇒
(β) ∈ V( P )
∵
ρ=ψφ : R ⊃ C → R/P
とすると
∀ f( x ) ∈ R
に対して
ρ( f(α) )
=ψ(φ( f(α) ) )
=ψ( f(α)+P )
=ψ( f(α1 , ・・・,αn )+P )
=ψ( f(α1+P , ・・・,αn+P ) )
= f(ψ(α1+P ) , ・・・, ψ(αn+P ) )
= f(β1+P , ・・・, βn+P )
= f(β1 , ・・・, βn )+P
= f(β)+P
特に
∀ f( x ) ∈ P
に対して
f(α) = 0
⇒
ρ( f(α) ) = ρ( 0 ) = ψ(φ( 0 ) ) = ψ( 0+P ) = ψ( P ) = P
= f(β)+P
⇒
f(β) ∈ P ∩ C = { 0 }
⇒
f(β) = 0
⇒
(β) ∈ V( P )