両辺のlogを取ってd/dxすると
cot x-1/x
= ( -2/x )
Σ( ( x/nπ )^2
+( x/nπ )^4
+( x/nπ )^6
+・・・・・・・) : 無限等比級数展開
= ( -2/x )
( ( x/π)^2ζ( 2 )
+( x/π)^4ζ( 4 )
+( x/π)^6ζ( 6 )
+・・・・・・・)
⇒
xcot x
= 1
-2( ( x/π)^2ζ( 2 )
+( x/π)^4ζ( 4 )
+( x/π)^6ζ( 6 )
+・・・・・・・)
⇒
πxcotπx
= 1
-2( x^2ζ( 2 )
+x^4ζ( 4 )
+x^6ζ( 6 )
+・・・・・・・) : Taylor展開
q.e.d.
この公式の素晴らしいのは
πcotπx
= ・・・
+1/( x-2 )
+1/( x-1 )
+ 1/x
+1/( x+1 )
+1/( x+2 )
+・・・・: 部分分数分解
も出て来ることです！
一石二鳥になっている！！