Σ1/( z-α )^3 ( α∈Ω )
は収束する！
けど
Σ1/( z-α )^2 ( α∈Ω )
は収束しない！！
そこで
φ( z )
= -2Σ1/( z-α )^3 ( α∈Ω )
Φ( z )
= ∫φ( w ) dw ( w = 0～z )
と置くと
Φ’( z )
= φ( z )
Φ( z )
= 1/z^2+Σ ( 1/( z-α )^2-1/α^2 ) ( α∈Ω-0 )
⇒
Φ( -z )
= Φ( z ) ( Φ : even )
さて
φ( z+ω )
= φ( z ) ( ω∈Ω )
だから
Φ’( z+ω )
= Φ’( z )
⇒
Φ( z+ω )
= Φ( z )+C ( C : constant )
z
= -ω/2
とすると
Φ( ω/2 )
= Φ( -ω/2 )+C
= Φ( ω/2 )+C
⇒
C
= 0
⇒
Φ( z+ω )
= Φ( z )
同様に
Φ( z+ωi )
= Φ( z )
だから
ω , ωi : Φ( z )の2重周期
になっている！
⇔
Φ( z ) : 楕円関数
になっている！