前回の公式を使うと
ζ( ω/2+ωi/2 )
= ζ( ω/2 )+ζ( ωi/2 )
が出て来る！
左辺
= ζ( -ω/2+ωi/2+ω )
= ζ( -ω/2+ωi/2 )+2ζ( ω/2 )
= -ζ( ω/2-ωi/2 )+2ζ( ω/2 )
左辺
= ζ( ω/2-ωi/2+ωi )
= ζ( ω/2-ωi/2 )+2ζ( ωi/2 )
⇒
2左辺
= 2ζ( ω/2 )+2ζ( ωi/2 )
⇒
左辺
= ζ( ω/2 )+ζ( ωi/2 )
q.e.d.
これを使うと直ちに！
∫ √( ( 1+x^2 )/( 1-x^2 ) ) dx ( x = 0～1 )
= ω/2+ζ( ω/2 )
となるが
= ( ω+π/ω )/2
でもあるので
ζ( ω/2 )
= π/2ω
= A.G.M.( 1 , √2 )/2
q.e.d.
-Pを積分したものが奇関数ζでしたが正体が分かり難い？
そこで違う方向からζを考え直してみたい！