E4(τ)
= 2ζ( 4 )( 1+( 8/B4 )Σn＾3q/( 1-q＾n ) ( n : 自然数 ) )
E6(τ)
= 2ζ( 6 )( 1-( 12/B6 )Σn＾5q/( 1-q＾n ) ( n : 自然数 ) )
⇒
E4(τ)/2ζ( 4 )
= 1+240(q＾2+9q＾4+28q＾6+73q＾8+・・・・・・・)
E6(τ)/2ζ( 6 )
= 1-504( q＾2+33q＾4+244q＾6+1057q＾8+・・・・・・・)
← Hecke
ζ( 4 )
= π＾4/90
ζ( 6 )
= π＾6/945
⇒
Δ(τ)
= ( 2π )＾12η(τ)＾24 : Jacobi
= g2(τ)＾3-27g3(τ)＾2
= ( 60E4(τ) )＾2-27( 140E6(τ) )＾2
= ( 4π＾4/3 )＾3( ( E4(τ)/2ζ( 4 ) )＾3-( E6(τ)/2ζ( 6 ) )＾2 )
⇔
( E4(τ)/2ζ( 4 ) )＾3-( E6(τ)/2ζ( 6 ) )＾2
= 12＾3η(τ)＾24
⇔
( 1+240(q＾2+9q＾4+28q＾6+73q＾8+・・・・・・・) )＾3
-( 1-504( q＾2+33q＾4+244q＾6+1057q＾8+・・・・・・・) )＾2
= 12＾3q＾2Π( 1-q＾2m )＾24
q.e.d.
確かに
q＾2の係数 : 3×240+2×504
= 1728 = 12＾3
q＾4の係数 : 3×240×9+3×240＾2+2×504×33-504＾2
= -2×12＾4
・・・・・・・
凄いねー！