J( √-2 ) と J( ( -1+√-2 )/2 )

k( √-2 )

= sinθ

= √2-1

= tan( π/8 )

k’( √-2 )

= cosθ

= √( 2sinθ )

J( √-2 )

= 2^8( k^4-k^2+1 )^3/( k^4-k^2 )^2

= 20^3

a

= ( 2sin2θ )^2

J( ( -1+√-2 )/2 )

= 2^8( a-1 )^3/a

= ( 190-130√2 )^3

Landen-3公式

0.

k( 2τ ) 

= ( 1-k’( τ ) )/( 1+k’( τ ) )

k( τ ) 

= ( 1-k’( τ/2 ) )/( 1+k’( τ/2 ) )

1.

K( k( 2τ ) )

= ( ( 1+k’( τ ) )/2 )K( k( τ ) )

2.

K’( k( 2τ ) )

= ( 1+k’( τ ) )K’( k( τ ) )

3.

K( k( τ/2 ) = 2√k( τ )/( 1+k( τ ) ) )

= ( 1+k( τ ) )K( k( τ ) )

k( √-3 ) = sin( π/12 )

τ

= ( -1+√-t )/2 ( t ＞ 0 ) :

( k( √-t ) , k’( √-t ) )

= ( sinθ , cosθ )

として

k’( √-t ) = cosθ

= k’( 2τ+1 )

= 1/k’( 2τ )

⇒

k’( 2τ )

= 1/cosθ

⇒

k( 2τ ) = ( 1-k’( τ ) )/( 1+k’( τ ) )

= √-1tanθ

⇒

k’( τ )

= cos2θ-√-1sin2θ

特に

k( τ = ( -1+√-3 )/2 = ζ3 )

= ζ12

⇔

k( ζ3 )^2 = 1-k’( ζ3 )^2 = 1-( cos4θ-√-1sin4θ )

= ζ6

= cos( 2π/6 )+√-1sin( 2π/6 )

⇒

4θ

= 2π/6

⇒

θ

= π/12

⇒

( k( √-3 ) , k’( √-3 ) )

= ( sin( π/12 ) , cos( π/12 ) )

q.e.d.

追悼 園まり様

昨晩久し振りに

園まりさんのCD

を聴いてました！

虫の知らせ？

だったのかなぁ ・・・・・・・

J( τ )

τ

= ( -1+√-t )/2 ( t ＞ 0 ) : 

K( k( √-t ) = sinθ )

= ( 1/( 2√cos2θ ) )∫ 1/√( x( 1-x )( 1+( xtan2θ )^2 ) ) dx

    ( x = 0 〜 1 )

= ( 1/( √cos2θ ) )∫ 1/√( 4u^3-gu-h ) du

    ( u = 2/3 〜 ∞ )

    ( g , h ＞ 0 )

g

= 4( 1/3-( tan2θ )^2 )

h

= 4( 2( 1/27+( tan2θ )^2/3 ) )

更に

a

= ( 2sin2θ )^2

として

J( τ )

= 2^8( a-1 )^3/a

= ( 12g )^3/( g^3-27h^2 )

になっている.

τ

= ( -1+√-7 )/2 :

楕円曲線 C : y^2 = 4( u^3-( 20/63 )u-16/189 )

( e1 , e2 , e3 )

= ( 2/3 , -1/3+√( -1/63 ) , -1/3-√( -1/63 ) )

k( τ )

= √( ( e2-e3 )/( e1-e3 ) )

= ( 3+√-7 )/8

J( τ )

= ( -15 )^3

Jを求めなくても

Cは出て来るのか！！

Remark :

g

= 0

⇔

tan2θ

= 1/√3

⇔

θ

= π/12

⇔

τ

= ( -1+√-3 )/2

だから

t

＞ 3

⇔

g

＞ 0

K( sin( π/12 ) )

K( sin( π/12 ) )

= ( √√3/2 )∫ 1/√( x^3-1 ) dx ( x = 1 〜 ∞ )

= ( √√3/2 )( B( 1/6 , 1/2 )/3 )

= ( √√3/6 )( √3B( 1/3 , 1/2 ) )

= B( 1/3 , 1/2 )/( 2√√3 )

”延命寺ヤマユリ”

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2θ

K( sinθ )

= ( 1/cosθ )∫ dx/√( ( 1-x^2 )( 1+( xtanθ )^2 ) ) 

    ( x = 0 〜 1 )

= ( 1/( 2√cos2θ ) )∫ dx/√( x( 1-x )( 1+( xtan2θ )^2 ) ) 

    ( x = 0 〜 1 )

公式が出来ました ・・・

τ

= ( -1+√-t )/2 ( t ＞ 0 ) :

k( √-t )

= sinθ

k’( √-t )

= cosθ

⇒

k’( τ )

= cos2θ-√-1sin2θ

K( k( τ ) )

= K( sinθ )( cosθ+√-1sinθ ) : 極形式

K( sinθ )

= ∫ 1/√( 4t( 1-tcos2θ )( 1+( tsin2θ )^2 ) ) dt 

   ( t = 0 〜 1/cos2θ )

= ( 1/( 2√cos2θ ) )∫ 1/√( x( 1-x )( 1+( xtan2θ )^2 ) ) dx 

   ( x = 0 〜 1 )

K( 2/√13 )

K( 2/√13 )

= 

∫ 1/√( 4( x-( 5/13 )x^2 )( 1+( ( 12/13 )x )^2 ) ) dx ( x = 0 〜 13/5 )

( 5/13 )^2+( 12/13 )^2

= 1