f( x ) : [ a , b ] で連続である
とする .
[ a , b ] をn個に分割 ( n等分でなくても可 ) して
Δ : a = x0＜x1＜x2＜ ・・・・・・・ ＜xn-1＜xn = b
各小区間に於ける
f( x )の最大値 = Mk
f( x )の最小値 = mk
k = 1 , 2 , ・・・・・・・ , n
として長方形の面積和
SΔ = Mk( xk-xk-1 ) の和 : 過剰和
sΔ = mk( xk-xk-1 ) の和 : 不足和
と置く .
そこでΔを動かすと
過剰和 , 不足和 はある一定の値 = s に収束する ← この証明は難しい！
このsを
∫ f( x ) dx ( x = a ～ x = b )
で表し
f( x ) の x = a ～ x = b の定積分 = Cauchy 積分
という .
定積分を面積ではなく一般的に定義しています！
これが定積分の存在定理で
この定積分の求め方を区分求積法といいます .
ここまでが準備です . ( 詳細略 )
そこで
I = [ a , b ] : 閉区間
a＜t＜t+h＜b
として
∫ f( x ) dx ( x = a ～ x = t )
が存在するので
F( t ) = ∫ f( x ) dx ( x = a ～ x = t ) : f ( x ) の積分関数
と置くと
F( t+h ) - F( t )
= ∫ f( x ) dx ( x = t ～ x = t+h ) : 公式
= h×f( α ) : 積分の平均値定理
なる
α ( t＜α＜t+h )
が存在する . ← 中間値の定理
すると
( F( t+h )-F( t ) )/h = f( α ) → f( t ) ( h → 0 ) ← f( x ) の連続性
だから
f( t ) = F’( t ) ← 導関数の定義
即ち
F’( x ) = f( x ) : 微分積分学の基本定理
それ故
F( x ) = ∫ f( x ) dx : f( x ) の不定積分
と書ける .
という事は
f( x ) : ( Cauchy ) 積分可能
である .
q.e.d.