原点( 0 , 0 ) : 中心
半径 = √100 = 10
の円周及び内部にある格子点の個数を求めれば良い！
x軸 , y軸上にある格子点 : 10×4+1 = 41個
第1象限にある格子点 : 9+9+9+9+8+8+7+6+4 = 69個
第2象限にある格子点 : 69個
第3象限にある格子点 : 69個
第4象限にある格子点 : 69個
だから
これらを合計して
41+69×4 = 317個
マアいい線いってるネ！
このとき
317≒100π = Nπ
⇒ 317/100≒π
になっている .
以下続く .
4f( s )
= 4/1＾s+4/2＾s+0/3＾s+4/4＾s+8/5＾s+0/6＾s+0/7＾s+8/8＾s+4/9＾s+8/10＾s+ ・・・・・・・
ですが
分子の和 = 4+4+0+4+8+0+0+8+4+8+ ・・・・・・・= ∞！
と
右辺 = π
の関係は？
関係ないと思うけど ・・・・・・・ .
さて
x , y : 整数
として
分子 :
4 = x＾2+y＾2 = 1 となる( x , y )の個数
4 = x＾2+y＾2 = 2 となる( x , y )の個数
0 = x＾2+y＾2 = 3 となる( x , y )の個数
4 = x＾2+y＾2 = 4 となる( x , y )の個数
8 = x＾2+y＾2 = 5 となる( x , y )の個数
・・・・・・・
だから
分子の和
≒ 円 : x＾2+y＾2 = N の周上及び内部の格子点の個数 ( N≒∞ )
≒πN : 半径√Nの円の面積
になっている？！
本当にそうなの？
N = 100
で実験しましょか！
以下続く .
= 4/1＾s+4/2＾s+0/3＾s+4/4＾s+8/5＾s+0/6＾s+0/7＾s+8/8＾s+4/9＾s+8/10＾s+ ・・・・・・・
ですが
分子の和 = 4+4+0+4+8+0+0+8+4+8+ ・・・・・・・= ∞！
と
右辺 = π
の関係は？
関係ないと思うけど ・・・・・・・ .
さて
x , y : 整数
として
分子 :
4 = x＾2+y＾2 = 1 となる( x , y )の個数
4 = x＾2+y＾2 = 2 となる( x , y )の個数
0 = x＾2+y＾2 = 3 となる( x , y )の個数
4 = x＾2+y＾2 = 4 となる( x , y )の個数
8 = x＾2+y＾2 = 5 となる( x , y )の個数
・・・・・・・
だから
分子の和
≒ 円 : x＾2+y＾2 = N の周上及び内部の格子点の個数 ( N≒∞ )
≒πN : 半径√Nの円の面積
になっている？！
本当にそうなの？
N = 100
で実験しましょか！
以下続く .
f( s ) = ζ( s )g( s ) ( s＞1 )
で
s → 1+0
とすると
両辺 → ∞ : 発散
するんですが
公式 : ( s-1 )ζ( s ) → 1
を使うと
( s-1 )f( s )
= ( s-1 )ζ( s )g( s )
→ g( 1 )
で
g( 1 ) = 1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+ ・・・・・・・ = π/4 : 収束
してくれます.
この級数が有名なGregory級数です.
すると
( s-1 )f( s ) → π/4 ( s → 1+0 )
⇒ Res( f( s ) , s = 1 ) : f( s )のs = 1 に於ける留数
= π/4
が成り立つ .
さて
( s-1 )f( s ) → π/4 ( s → 1+0 )
の両辺×4すると
( s-1 )×4f( s ) → π
となるが ・・・・・・・ .
で
s → 1+0
とすると
両辺 → ∞ : 発散
するんですが
公式 : ( s-1 )ζ( s ) → 1
を使うと
( s-1 )f( s )
= ( s-1 )ζ( s )g( s )
→ g( 1 )
で
g( 1 ) = 1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+ ・・・・・・・ = π/4 : 収束
してくれます.
この級数が有名なGregory級数です.
すると
( s-1 )f( s ) → π/4 ( s → 1+0 )
⇒ Res( f( s ) , s = 1 ) : f( s )のs = 1 に於ける留数
= π/4
が成り立つ .
さて
( s-1 )f( s ) → π/4 ( s → 1+0 )
の両辺×4すると
( s-1 )×4f( s ) → π
となるが ・・・・・・・ .
n = 325
で公式の確認をしましょか！
325 = 5＾2×13 : 素因数分解
⇒ d = 1 , 5 , 5＾2 = 25 , 13 , 5×13 = 65 , 5＾2×13 = 325
だから
Σsin ( dπ/2 )
= 1+1+1+1+1+1
= 6
実際
325
= ( ±1 )＾2+( ±18 )＾2 : 8通り
= ( ±6 )＾2+( ±17 )＾2 : 8通り
= ( ±10 )＾2+( ±15 )＾2 : 8通り
だから
( 8+8+8 )/4 = 6
でO.K.
意外と便利かナ？
以下続く .
で公式の確認をしましょか！
325 = 5＾2×13 : 素因数分解
⇒ d = 1 , 5 , 5＾2 = 25 , 13 , 5×13 = 65 , 5＾2×13 = 325
だから
Σsin ( dπ/2 )
= 1+1+1+1+1+1
= 6
実際
325
= ( ±1 )＾2+( ±18 )＾2 : 8通り
= ( ±6 )＾2+( ±17 )＾2 : 8通り
= ( ±10 )＾2+( ±15 )＾2 : 8通り
だから
( 8+8+8 )/4 = 6
でO.K.
意外と便利かナ？
以下続く .
1 = sin 90°= sin π/2
0 = sin 180°= sin π
-1 = sin 270°= sin 3π/2
0 = sin 360°= sin 2π
だから
g( s )の分子の第n項 = sin ( nπ/2 )
と一発に書ける！
すると
f( s )の分子 : 1 , 1 , 0 , 1 , 2 , 0 , 0 , 1 , 2 , 2 , ・・・・・・・
の第n項 = ？
これは一寸？難しくて
Σsin ( dπ/2 ) ( d | n ⇔ d : nの約数 )
になっている .
これが有名なメービウスの反転公式です！
この結果を使うと
n : 素数( ＞2 )
として
f( s )の分子の第n項
= 2 ( n = 5 , 13 , 17 , 29 , 37 , ・・・・・・・ )
= 0 ( n = 3 , 7 , 11 , 19 , 23 , ・・・・・・・ )
になっている .
以下続く .
0 = sin 180°= sin π
-1 = sin 270°= sin 3π/2
0 = sin 360°= sin 2π
だから
g( s )の分子の第n項 = sin ( nπ/2 )
と一発に書ける！
すると
f( s )の分子 : 1 , 1 , 0 , 1 , 2 , 0 , 0 , 1 , 2 , 2 , ・・・・・・・
の第n項 = ？
これは一寸？難しくて
Σsin ( dπ/2 ) ( d | n ⇔ d : nの約数 )
になっている .
これが有名なメービウスの反転公式です！
この結果を使うと
n : 素数( ＞2 )
として
f( s )の分子の第n項
= 2 ( n = 5 , 13 , 17 , 29 , 37 , ・・・・・・・ )
= 0 ( n = 3 , 7 , 11 , 19 , 23 , ・・・・・・・ )
になっている .
以下続く .