今日は高校入試ネタです。
西暦にちなんだ問題を考えてみました。
昨年（2023年）は、2023が７×17×17で、１７の平方が隠れている数字だったんですが・・・
こちらが狙っていたような問題は大阪では出題されなかったようです。
2024
一見、くせのない数字のように見えますが・・・
素因数分解してみると・・・
２×２×２×11×23＝2024
ということで、11と23という素数が含まれています。
さらには、２の３乗ということで平方根関係の問題は出題しにくい数字と考えます。
ではどんな問題が考えられるのか？
【第１問】
連続する１６個の自然数の和が２０２４になるとき、最大の自然数と最小の自然数を求めなさい。
いきなり計算ハードルの高い問題ですが・・・
＜考え方＞
最小の自然数をｎとすると、連続する１６個の自然数は、n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5,n+6,n+7,n+8,n+9,n+10,n+11,n+12,n+13,n+14,n+15と表せる。
その和は16ｎ+120＝2024
16n=1904
n=119
よって、最小数は119で最大数は134
【第２問】
自然数「A」と自然数「B」がある。この２数は、十の位の数が同じで、それぞれの一の位の数の和は１０になる。また、この２数の積は2024になるという。自然数「A」と自然数「B」をそれぞれ求めなさい。ただし、「A」＜「B」とする。
＜考え方＞
この問題、知っている人にとっては、他愛もない問題です。
１０の位の数字が同じで、１の位の数の和が１０になる時、例えば、「A」を10a+b、「B」を10a+cとすると、(10a+b)(10a+c)=2024となる。
これを展開すると100a^2+10a(b+c)+bc=2024
ここで、b+c=10という条件が加わるので上記の式に代入する。
100a^2+10a×10+bc=2024
100a(a+1)+bc=2024
という等式を得られる。
この式の意味することは、
十の位の数とその数より１大きい数をかけて１００倍し、一の位どうしを掛けた数を足せば２０２４になる、ということ。
例えば、３５×３５はこの問題の条件にある数字になる。
先ほどの解説の通りに計算をすると、
まず十の位の数と、その数より１大きい数を掛けて１００倍すると、３×４×１００＝１２００となる。
さらに一の位どうしを掛けると５×５＝２５
これを足すと１２００＋２５＝１２２５となる。
つまり、下２桁は一の位同士の掛け算の答えになる。
○×◇＝２４
さらに
○＋◇＝10
という条件を満たしている数字の組み合わせは４と６
そして上２桁は連続する２つの数の積
△×☆＝20
さらにこの２数は連続する数
という条件を満たす数字の組み合わせは４と５
以上より「A」「B」はそれぞれ４４と４６であることがわかる。