『早稲田大学 理工学部 数学 講評| 2025年大学入試数学』

2025-02-17 10:00:00

早稲田大学理工学部数学講評| 2025年大学入試数学

テーマ：●大学入試数学(2025年)

●２０２５年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は早稲田大学(理工学部)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです。

2月に入り、本格的に２次試験シーズンがやってきました。お馴染みになってきたかもしれませんが、２０２５年　大学入試数学評価をやっていきます。

２０２５年大学入試（私大）シリーズ

早稲田大学(理工学部)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。 ☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。 したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

本文にある緑字(この色)は、数学を受験する上で必要な原則を表しています。知らなかった場合は、言葉を覚えるだけでなく、必ず教科書や問題集等で該当する類題を数題見つけ、演習することで定着させてください。

自分で探して自分で解く。これが一番身につきます。

★お知らせ★

Principle Pieceシリーズの販売を再開しました＾＾　原則習得のための参考書です。

YouTube開設しました。　個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を紹介していこうと思います。

Twitter始めました　こちらもよろしくお願いいたします＾＾

早稲田大学（理工学部）数学

（試験時間120分、５問、記述式）

１．全体総評
２．合格ライン
３．各問の難易度など
４．対策

動画でも紹介していますので、お好きな方でご覧ください。

１．全体総評～後半2問がかなりキツイ～

昨年比でやや難化だと思います。前半3題は比較的穏やかで、後半の2題がキツイという問題。誘導も普段の早稲田理工に比べると少し乗りにくい印象があります。(普段がかなり親切なので)

昨年同様、試験としてはうまく機能していると思いますが、第2問はどこまで前提としてよいのかが迷うのと、第3問が知識ゲーに近い出題だったので、良問の早稲田理工のイメージを持っている私としては、ちょっと後味が悪いセットでした。

試験時間120分に対し、標準回答時間は150分。(後半2題で80分)

2024年：150分

2023年：133分

2022年：145分

2021年：130分

2020年：140分

2019年：145分

2018年：160分

2017年：160分

2016年：135分

2015年：150分

2014年：135分

２．合格ライン

(全科目の合格最低点は、55％～60％程度)

第１問は全体のセットを考えると落とせない。ｚを成分で置けたかどうか。

第２問はどのような時に最大となるかを明らかとして良いかが不明だが、答えだけは出しておきたい。

第３問は完全順列。知っていればノーヒントでもただの作業だが、知らないとこの誘導ではお手上げなので、キー問題になってしまいそう。

第４問は空間ベクトルの創作問題。いい問題だと思いますが、試験場では取れない人の方が多そう。

第５問は誘導が多いものの、文字が乱立していることも相まってその誘導に乗りにくい。時間との兼ね合いもあって取りにくいかも。

第１問～第3問でかっちり取れたかどうかが勝負になりそう。ここで引かれた分を、第4問と第5問でつまみぐいする。60%ぐらいかと思われます。

３．各問の難易度

☆第１問　【複素数平面】ｗの軌跡、楕円と円の共通部分の面積（B、25分、Lv.２）

複素数平面からで、w=f(z)軌跡の問題です。早稲田理工が大好きな出題ですね。ｗの軌跡が出せないと全滅ですが、全体のセットを考えるとなんとしても押さえたい。

(1)は連動系ですが、ｚのまま攻めようとすると厳しいです。本問のように、zとzバーが1次式で独立して存在している式の場合は、こちらの原則がいいでしょう。

Principle Piece

z=x+yi または極形式でおく

（拙著シリーズ数学B・C 複素数平面 p.46）

これをちゃんと意識している人は、迷うことなく成分でおけたでしょう。今回は明らかに極形式でおくほうがいいですね。

軌跡が出れば(2)(3)はどちらも大丈夫ですね。交点を出して、積分するだけです。数値からも、45°系が絡むのはほぼ明らかなので、積分計算もできるでしょう。

KATSUYAの解答時間は12:04です。まあ最初はこんなもんか。ⅢCの適度な融合問題って感じ。

第２問【微分法(Ⅲ)】三角形の面積の最大値（B、25分、Lv.2）

領域内に含まれる三角形の面積の最大値を求める問題です。どこまできちんと書くか迷うところですが、答えを出すことは絶対にやっておきたいもの。

本問を解いてごらんになっている人は何を言っているのか分かると思いますが、本問のモヤッとポイントは「最大となるときがこういう三角形のときだ」ということを、明らかとして良いかどうかということです。

これを明らかとして良いなら、y=-logx上の点を適当におき、接線の式を出して交点を出せば面積の式も出せて、微分するだけで終わりです。

しかしこれだとさすがに早稲田理工にしては軽すぎる気がする(メタな考え方ですが＾＾；)ので、とりあえず答えだけ出しておいて、後で時間が合ったら戻ってきて示してみるというのが試験中のムーブとしては最善だったと思います。

動画にて、大まかに最大となる理由について述べましたので、ご覧いただければと思います。ある程度書いていれば、それほど減点されなくて済むはずです。

※KATSUYAの解答時間は10:02+4:50です。先にとりあえず答えを出し、あとで最大となるときについて説明するというスタイル。私は試験も受けている(この試験で1点でも多く取る)つもりで解いていますので、こういうムーブになります。

☆第３問【場合の数＋数列】完全順列の確率とその漸化式（B、20分、Lv.2）

有名な題材である完全順列からです。拙著でもほぼ同じ問題載ってます。 共テ2022年の他、東工大2004年の後期でも扱われています(いっぱい指摘されてて、東工大は初めて知った)。

一度でも漸化式は作ったことがないと、この誘導ではあってないようなもんなので、実質知っていたかどうかで決まります。

(1)は数えるだけです。

(2)からはもう経験がないと手がつかないでしょう。１の位置に２～ｎが入るとして、それは対称です。あとは２の位置に、１が入るかそれ以外が入るかで場合分けします。

(3)は(2)が出来れば、式をｎ！で割ります。問題文の形から、pn-1だけ左辺に移行すれば、同じ形の1ズレが右辺に出ます。拙著では10型と呼んでいる漸化式で、もちろん原則があります。どちらでもＯＫ。

Principle Piece 漸化式10型：ｆ(n)an+1=g(n)an 型 → 両辺に適切な式をかけて定数列を

（詳細は拙著シリーズ数学B・C 数列 p.51）

Principle Piece 漸化式10型：ｆ(n)an+1=g(n)an 型 → ずらしながら次々にかけ算する

（詳細は拙著シリーズ数学B・C 数列 p.54）

今回は下の方が分かりやすいかもしれませんね。

なお、完全順列になる確率はｎ→∞で1/e となります。

※KATSUYAの解答時間10:24。ただの完全順列やん＾＾；こんな知識問題だすんか。ただの作業なのツラツラ書いて終了。

☆第４問【空間ベクトル】4つの球面の外接条件、四面体の体積（C、35分、Lv.2）

空間ベクトルからで、4球面が互いに外接している条件などから、半径などを特定する問題。創作問題っぽくていい問題だと思いますが、個人的にはここから急に難易度がぐんと上がった印象。

(1)から手が付かなかった人も多いでしょう。早稲田理工にしてはちょっと誘導がなくてきつく感じたかもですね。

Ｑに関する条件をうまくいじれたかどうかです。Ｑは3接点(以下、T1～T3)からなる平面上にありますので、終点をP1～P3ではなく、T1～T3するべきだという発想に至れたかどうかです。さらに、O,P1,T1などが一直線上にあるため、簡単に実数倍(rの式)で表せることに気づけるかどうか。

この2点に気づければｒは出せます。

(2)はｒさえ出れば、四面体の6辺は2つの球面の半径の和としてすべて出せます。ここで、3,4,5が辺に入っていることから、P1P2P3(直角三角形)をxy平面におくような座標設定をするとよかったでしょう。(もとの原点OをあえてOにおかないってこと)

O(x,y,z)として、残りの長さの条件から特定するといいでしょう。座標設定次第ではまあまあ計算が地獄です。

なお、これに気づかなくても、6辺さえわかれば、こちらの原則と計算力次第でなんとでもなります。

Principle Piece 基準3ベクトルと「基本6量」の決定を

（詳細は拙著シリーズ数学B・C 空間ベクトル p.36）

基準ベクトルは、例えばOを始点に3つとります。基本6量とは、まず3ベクトルの大きさ、そして内積3種です。内積はどの三角形も3辺とも分かっているので求められます。

これに従えば、途中計算はかなり煩雑ですが出来ます。今回はこれだと拙い解法になりますが、汎用性が高い解法なのは間違いないです。いざとなったらこれで計算をごり押せるぐらいの計算力は必要です。

※KATSUYAの解答時間28:25。(1)でQの条件の使い方に気づくのにめっちゃかかった。それまでにOを原点においてP1をx軸上に、P2をxy平面上とかにおいたことで、(2)も3,4,5に気づかず計算。それでも正解できている(数学ソフトで図を書いて確かめた)ので、計算力は大事です。

第５問【積分法(応用)】媒介変数表示の概形と回転体の体積（B、30分、Lv.２）

最後は微分法と整数問題？です。楕円曲線と呼ばれる曲線に存在する有理点に関する問題。有名かつ奥が深いテーマなので、受験生の深追いはススメません。

試験としては、誘導は丁寧ですが、文字が多いのと、いったんわざわざｋやｃで置いてある(aさえ与えられればaで表せる)ところもややこしく、やりにくく感じた人が多いと思います。

問題文に「ｘを消去して」とかいてあるので、消去してyに関する3次方程式を作ります。

（１）(２）は出来た方程式を見て、解と係数の関係をひたすら使うだけです。式の形からも特に(1)は明らか。(2)は他の式も立てて、ｋやｃを消してb,b'だけにしていきます。文字計算も相まって、計算は結構大変。

なお、b'は係数を含めてルートが一切入ることなく、ｂの分数式となります。これが(3)以降につながります。

（３）が一番ネックでしょう。b'の方は(2)が正しく計算出来ていればすぐにわかります。問題はa'です。条件に、(a,b)がともに有理数ならばと書いてあることか、これまで出て来ていないaに関する条件があります。

そこで、以下の２つの事実に目を向けられるかどうか。ここが難しいですね。

(a,b)、(a',b') はともに接線ｌ上の点なので、傾きｋとa,b,b'からaが分かる
接線の傾きとして置いたｋをaの式にするべきである

これにより、kの式も有理数だと分かり、そこからa'も有理数だと示せます。ちょっと難しいですね。

(4)は(3)と関係なく、(2)の式があっていれば出来ます。ｂに設定どおりに式を代入し、b'も設定どおりに整理するだけです。このやり方で接点から共有点を作ると、分母の２の指数が大きくなることがこれで分かります。

(5)も、(3)の事実を受け入れれば、(4)の結果と合わせることで比較的簡単に証明は出来ます。接線を引き続け、そこから出来る共有点が全部違うと言えばOKですね。

結果的には、(2)さえ出れば、(3)の証明以外全部解けることになりますので、ズル賢く振る舞えばキズは最小限で済みます。時間的に焦ると思うので、そこまで考えが回ったかどうか。

※KATSUYAの解答時間は33：41です。(3)でaが有理数であることの証明に詰まる。とりあえず(4)(5)を見て、(3)受け入れれば最後まで行けそうと判断し、先に最後まで書く。それから考えて、kを戻す必要があると判断。最初からaのままで聞いてくれた方がやりやすかったな。でもそれやと(1)(2)の計算複雑なんかなぁ？？