『慶應義塾大学 経済学部 数学 講評| 2025年大学入試数学』

●２０２５年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は慶應義塾大学(経済学部)です。

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです。

2月に入り、本格的に２次試験シーズンがやってきました。お馴染みになってきたかもしれませんが、２０２５年　大学入試数学評価をやっていきます。

２０２５年大学入試（私大）シリーズ

慶應義塾大学(経済学部)です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。 ☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。

※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。 したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

本文にある緑字(この色)は、数学を受験する上で必要な原則を表しています。知らなかった場合は、言葉を覚えるだけでなく、必ず教科書や問題集等で該当する類題を数題見つけ、演習することで定着させてください。

自分で探して自分で解く。これが一番身につきます。

★お知らせ★

Principle Pieceシリーズの販売を再開しました＾＾　原則習得のための参考書です。

YouTube開設しました。　個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を紹介していこうと思います。

Twitter始めました　こちらもよろしくお願いいたします＾＾

慶應義塾大学（経済学部A）数学

（試験時間80分、６問、ハイブリッド型）

※ハイブリッド型とは、穴埋め型と記述式の混合型のことです。

１．全体総評
２．合格ライン
３．各問の難易度など
４．対策

動画でも紹介していますので、お好きな方でご覧ください。

１．全体総評～ボーダーを取るなら昨年並み～

難易度は全問ベースで考えるとやや難化、ボーダーベースで考えると昨年とほぼ同じです。

前半の穴埋めは昨年並みか少し計算量はスリムになった印象。後半の4番、5番あたりはいつも通り難易度は高く、どちらも最後は計算量がかなり多め。6番は微積色が薄い感じでした。

※私は、3年連続で80分で解けませんでした(大問6の(2)(3)残し)。

試験時間80分に対し、標準回答時間は178分【149分】(←穴埋め考慮)

2024年：170分【142分】(←穴埋め考慮)

2023年：174分【140分】（←穴埋め考慮）

2022年：185分【164分】（←穴埋め考慮）

2021年：185分【154分】（←穴埋め考慮）

2020年：195分【169分】（←穴埋め考慮）

2019年：128分【108分】（←穴埋め考慮）

2018年：165分【141分】（←穴埋め考慮）

2017年：160分【133分】（←穴埋め考慮）

2016年：170分【147分】（←穴埋め考慮）

2015年：130分【103分】（←穴埋め考慮）

２．合格ライン～取りやすいものを取る～

第１問は小問２つ構成に。(1)は計算するだけ。(2)も場合分けをコツコツやれば解けるはず。どちらも出来ればおさえたいが、(2)は少し差がつくか。

第２問は数列。KO経済の数列としてはラクな方だと思うので、対策してれば取れるハズ。

第３問は確率。(4)は捨ててOK。(3)までで考えると、普段の確率より考えやすい。

第４問は指数対数とちょこっと微分。こちらも(4)だけ明らかにヤバそうなにおいがする。(3)は見掛け倒しなので、ここまで確保したい。

第５問も空間ベクトルで、問題文からしてもメンドウそうで、実際(1)からそんなに簡単ではない。本セット最難問。(2)まで解ければ有利。(3)(4)は捨ててOK。

第６問はちょっと毛色の違う微積でキー問題。(1)は面積公式の証明で、こういうものほど差がつく。(2)(3)も普段あまりしない考え方を用いるので、差が付きそう。ここに来るまでに時間を残していたかどうか。

いつも通り、取れそうなものを確保。今年は捨てようと思えるものが割と分かりやすいので、判断しやすいかと。

前半3問では、第２問と第３問の最後以外、第1問は半完以上。後半は全部合わせて１完全半ぐらいあればという感じ。

３．各大問の講評

第１問(1)【三角関数】三角形の面積、辺の長さ（AB、13分【9分】、Lv.1）

今年の最初は三角関数。単位円周上の点で構成される三角形や辺の長さを求める問題。

いろいろ聞いてますが、ひたすら正弦定理と余弦定理を使うだけ。そこに2倍角、3倍角が絡みます。ただの計算問題ですね。

なお、本学を受験するなら、3倍角公式は必須です。「導けばいい」とか甘い考えはやめましょう。

☆第１問(2)【図形と方程式】不等式と最大値（B、20分【13分】、Lv.2）

絶対値を含む不等式条件下で、最大値を求める問題。誘導通りにするのがちょっと煩わしいですが、やることは同じです。

最初は絶対値の中身2つの式がかけて0以上のとき。

因数分解形の領域は次の原則で簡単に分かります。

Principle Piece 因数分解形の領域は1つおきに塗り絵する

（詳細は拙著シリーズ数学Ⅱ 図形と方程式 p.62）

そのときに、さらに①を満たす領域を図示すればｍの範囲は分かります。答えを書きながら領域をどんどん図示していくと完成形の予想が付きます。

後半は前半と同じように考えても出来ますが、穴埋めなら前半の段階で領域の予想が付きます。残りの境界線は直線のはずですし、結ぶところを考えるときれいな正方形なりそうですよね。

最後は最大値、ヒントの形から、展開してｍ、ｎのそれぞれで平方完成すればOK。

領域が正方形であることから、m,nはお互いに影響することなく求めた範囲を動けます。

あとは(m－3)^2が最大、(n－3)^2が最小になるときでOKですね。

※KATSUYAの解答時間は4:00，12:06です。(2)で境界の式ミスったので、かなりロス。これ無ければ、時間内に終われたかもと思うとちょっと反省。

第２問【数列】和から項、項から和（BC、20分【13分】、Lv.2）

KO経済らしい感じの数列ですが、普段よりは計算が穏やかなので取りやすいと思います。

（１）はいいでしょう、a1、a_2ともにシグマの式にk=1や2を入れて、2つの式を比べます。

（２）の前半もただの計算。それが一番上のシグマの右にk=nを入れた式になりますから、それでanも出せます。誘導も親切ですね。

（３）はanの和を求めるもの。流れから、望遠鏡型だと分かるでしょう。

その準備として、anをf(k+1) －f(k)の形に変形する必要があります。分母はこちらの原則に従うと分け方に迷わないでしょう。

Principle Piece 部分分数的分解 → 頭とお尻から因数を1つずつ除いて差の形に

（詳細は拙著シリーズ数学Ⅱ 式と証明 p.21）

手前の分数は、まず分母を特定したうえで中カッコの中を通分します。元の式と見比べて2倍大きいので、１／２倍すればいいという感じで埋めます。

これが出来れば、和も出せますね。なお、部分分数分解の式はa2からなので、a1だけは別計算であることに注意しましょう。

※KATSUYAの解答時間は6:47です。普段のKO経済の数列より簡単では？

第３問【確率】点の移動、条件付き確率（BC、35分【24分】、Lv.２）

だいたい確率と数列がここで、今年は確率。ルールに従って点を移動させますが、こちらも普段の確率よりは(最後を除いて)そこまでしんどくないかなという印象。

(１)(２)(３)実は同じ考え方で解けます。こちらの原則を応用したものになります。

Principle Piece 回数不明の反復試行は回数を文字で置いて特定する

（詳細は拙著シリーズ数学 A 確率 p.22）

(１)で説明します。２枚表、２枚裏、表裏１枚ずつがそれぞれa回、b回、c回起こると設定します。回数が全部で３回であること、およびｘ座標とｙ座標の移動量の合計がゼロであることから、

a+b+c=3

a+b-2c=0

√3a-√3b=0

が成り立ちます。３文字で３つ式があるので、解は１つに決まります。あとは反復試行の考え方で確率を出せばOK。

(２)はさっきの３つの式一番下の式だけ除きます。今度は１通りに決まりませんが、０以上の整数の組み合わせを探すだけです。この要領で（３）も式を立てて、あり得る回数をすべて調査して足せばＯＫ。

（４）はちょっとメンドウ。条件付き確率はこちらの原則に従うので、分母は(３)の答えです。あとはすんません、動画をご覧ください。言葉では説明しにくい＾＾；

※KATSUYAの解答時間14:14。(1)(2)(3)全部やること同じやんけ＾＾；なんか不安になるな。(４)はメンドウそうやけど(３)出したしやるか。動画の通りあの図を急いで書き、３回で到達し得る場所を網羅して円周上になる場合だけを計算。まあ、捨て問やし、問題文的にもスルーすべきって分かりやすい。

第４問【指数対数+微分】指数不等式を満たすｎの最大値など（BC、30分、Lv.３）

今年はこっちが指数対数。空間ベクトルと隔年で、４番と５番を入れ替える意図は分かりかねますが、ほぼどっちかがどっちかです。

（１）は微分計算がちょろっと。接線を出してy=2mを代入するだけ。

（２）は表現が遠回しですが、Ｎはｍの最大値なので、(1)の値≦１をまずｍについて解き、m≦1/2p(p+2) とします。

これを満たす自然数ｍの最大値が40なら、右辺が40以上41未満てことですね。これを解くだけです。

後半から指数対数。（３）は繁雑そうに見えますが、見掛け倒し。なのでここまで確保できるとベスト。こちらの原則に従うだけです。

Principle Piece 指数に対数 → 指数と対数の底をそろえる

（詳細は拙著シリーズ数学 Ⅱ 指数関数・対数関数 p.26）

今回はどう見ても３にそろえるのがいいでしょう。指数の底はもともと３、対数の方にも３が入っています。

よって、あとはａの式をlog_3●という形にまとめてしまえばOK。n=log_3 3^nなども使えば、すぐに出来るはずです。

上の原則が定着していて、この手の計算演習経験がある程度あればいけるでしょう。

(4)は捨て問。方針は立ちやすいですが、とにかく計算がメンドウなのはすぐにわかります。問題文から、

1/2p(p+2)<２の1000乗

という不等式は作れるでしょう。そのpが(3)の答えですので、指数不等式になります。これを満たすｎの最大値を求めますが。まともに解くのはムリなので、見当をつけていきます。そこで、こちらの原則。群数列でよく使う原則ですね。

Principle Piece p(p+2)≒p^2 という感覚を用いて見当を

（詳細は拙著シリーズ数学 Ⅱ 指数関数・対数関数 p.31）

p^2≒2の1001乗になるということで、これなら両辺にlog2を付けて計算できます。これでn≒53となるので、求める値がこの値付近だと分かります。

あとはn=53のときに2^1001乗を下回るのか上回るのかです。これが若干のギャンブルで、下回ると思うならlog_23<1.59を使って上から押さえます。上回ると思うならlog_23>1.58を使って下から押さえます。

ここのギャンブルを外すと計算量が増えますので、その意味でも捨て問でしょう。結果的にはn=53のときは下回り、n=54のときは上回りますので、n=53が答えです。

※KATSUYAの解答時間は16:17。(3)まではどうってことはない。(4)はどうせまともに解くのはムリ、てか+2がジャマ過ぎるのでムシ。だいたいp^2で見当をつけてn=53を出す。あとは下げるか上げるか。余りを切って53にしてるので、足りないハズと踏んで上から押さえるギャンブルに出る。あたった！！よし！54にしたら一気に値は6561倍以上になる(すくなくとも3の指数が8変わる)ので、こっちは絶対超えると踏んで下から評価。ギャンブル当てても筆算が多い＾＾；

第５問【空間ベクトル】2つの球面の切断面(円)の共通接線など（C、35分、Lv.3）

空間ベクトルからです。2つの球面を題材に、接線出したらり平面どうしの交線考えたり、三角形の面積考えたり、色々です。

KO経済の空間ベクトルは、(特に後半で)空間的にどうなってるかをある程度把握しないと非常に進めにくい問題が出ます。今年はそこまでではなかったですが、その代わり計算がバチくそメンドクサイ＾＾；

(1)(2)は空間ではなく、平面の問題ですが、初っ端から経験が薄いと結構難しめのタイプ。2円の共通接線を求める問題で、こちらの原則を意識できたかどうかです。

Principle Piece 2円の共通接線 → 直角三角形の相似利用で図形的に

（詳細は拙著シリーズ数学 Ⅱ 図形と方程式 p.82）

こちらも詳しくは動画で見た方がいいと思いますので、動画をどうぞ。

(3)からは空間把握能力が若干必要。まず平面αは、2つの接点A1A2を通る直線を含み、z軸に平行な平面ってことです。すなわち、αの式は(1)の式そのままです。xとyの関係式さえ満たせば、ｚ座標は何でもOK。

同様に平面βの式は(2)そのものです。それを両方満たすのがｌとなります。すなわち、ｌの式はｘ座標さえ決めれば、αの式からy座標が、βの式からｚ座標がｘで表されますから、ｘ座標1文字で置けます。直線は1次元なので1文字でおけるのは当然ですね。

Principle Piece 直線上は未知数1つ、平面上は未知数2つ

（詳細は拙著シリーズ数学 B・C 空間ベクトル p.11）

あとはｚ＝０とすればGの座標が出て、ｙ＝０とすればHの座標も出ます。

（４）は、まずTが直線ｌ上にあることはいいでしょう。そして、OM＝４で固定なので、面積が最小なら高さも最小です。Tからx軸に下した垂線の長さが最小になるようなｔを求めればOKですね。

ただ、係数的にもかなり計算はメンドウなので、時間的にもまあ捨て問ですね。制限時間120分ならやってもいい(笑)

※KATSUYAの解答時間は20:16。方針は詰まることはなかったけど、(4)の係数が汚すぎる。途中計算は繁雑なのはしょうがないとしても、あってんのかこれ＾＾；　これは後回しにしたほうがよかったな。あと6分しかないんやけど・・・

第６問・・・【積分＋α】面積とその最大値、交点間の距離（B、25分、Lv.2）

普段だと最後は微積分からですが、今年は微分は無しで、最初に面積を求めたらあとは交点間の距離の問題です。

（１）は放物線と直線で囲まれる面積。KO経済でそんなの聞いてくるのか？と警戒したら案の定、6分の公式はNGと言わんばかりの指定がありますね＾＾；

でも、拙著ではこれに対しても原則で言語化してます！！

Principle Piece 6分の公式などは結果だけでなくプロセスも重要

（詳細は拙著シリーズ数学 Ⅱ 積分法 p.12）

この原則は、6分の公式などを証明する問題につけているものです。また、過去に動画でも証明問題(阪大文系で証明が出ている)を紹介しています。

※タイトルも、「公式は使えるだけではダメ」ですからね＾＾

拙著やこの動画を見ていた人なら余裕で証明しながら求められましたね。

（２）はAB=3のもとでの面積の最大値ですが、AB＝３が斜めの線なら、ｘ座標の差は3未満です。でもABが真横に３あればそのままｘ座標の差になります。そしてその差がそのまま面積に直結しますので、このとき最大ですね。

言われてみればという感じですが、こういう問題ほど解きにくいですよね＾＾；

(3)は対偶が良かったと思います。(0,7)を通る直線y=mx+7を設定すれば、交点間の距離はｍで表せます。交点のｘ座標の差を√m^2+1倍するだけです。これは知っておいた方がいいでしょう。解の公式で出して引けば、x座標の差も簡単に出ます。

あとは出した距離の式が3になることはない(３より大きい)と言えればOKですが、明らかにm^2=0の時が最小で、そのとき√84/3>3となり、言えますね。

※KATSUYAの解答時間は13:12です。(1)を大急ぎで証明して求める。残り1分強。(2)は一瞬考えるも、「いや真横のときやろ」と判断し、それを急いで答案にするが、途中でタイムアップでした。一応最後までやりました。(3)も最初はまともにやろうとしたものの、対偶の方が距離計算しやすいと判断し、対偶で終了。