慶應義塾大学 薬学部 数学 講評 | 2025年大学入試数学
●２０２５年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は慶應大学(薬学部)です。
いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです。
2月に入り、本格的に２次試験シーズンがやってきました。お馴染みになってきたかもしれませんが、２０２５年 大学入試数学評価をやっていきます。
２０２５年大学入試（私大）シリーズ
慶應大学(薬学部)です。
問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。 ☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。 したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。
本文にある緑字(この色)は、数学を受験する上で必要な原則を表しています。知らなかった場合は、言葉を覚えるだけでなく、必ず教科書や問題集等で該当する類題を数題見つけ、演習することで定着させてください。
自分で探して自分で解く。これが一番身につきます。
★お知らせ★
Principle Pieceシリーズの販売を再開しました＾＾ 原則習得のための参考書です。
YouTube開設しました。 個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を紹介していこうと思います。
Twitter始めました こちらもよろしくお願いいたします＾＾
慶應義塾大学（薬学部）数学
（試験時間100分、４問、穴埋め型）
※今年から100分になっています。
※動画でも解説しています。ブログでは説明しにくい部分も説明していますので、ぜひご覧ください。
１．全体総評～新範囲の割合が多いが…～
昨年比で難化したかどうかですが、個人的には変化なしです。しかし、受験生は難化と感じる可能性が高いと思います。理由は主に次の２つです。
- 新範囲(数ⅢC・および統計的推測)からがっつり出題
- その内容もパターンではあるがレベルがかなり高め
逆に言えば、新範囲の問題をパターンとして認識していれば、去年までと難易度も計算量も変わらないと感じるでしょう。
今回の問題で、慶應薬の数Ⅲの出題レベルがある程度つかめたという感じですが、思ったより高いなと私も思いました。過去問によって数Ⅲのレベル感がつかめていない受験生にはかなりキツイセットだったことも間違いないでしょう。
制限時間が100分になったからなのか、大問の数が３つから４つに増えました。(なお、2017年以前は80分で大問4つ)
ただ、昨年の確率のような地獄計算がないので、計算量自体は減り、80分のときとあまり変わらないと思います。
試験時間100分に対し、標準回答時間は149分【107分】
これ以前は、試験時間８０分です。
2024年は160分【104分】(←穴埋め考慮)
2023年は164分【109分】(←穴埋め考慮)
2022年は146分【100分】(←穴埋め考慮)
2021年は117分【78分】(←穴埋め考慮)
2020年は120分【82分】（←穴埋め考慮）
2019年は116分【74分】（←穴埋め考慮）
2018年は106分【71分】（←穴埋め考慮）
2017年は163分【110分】（←穴埋め考慮）
2016年は149分【97分】（←穴埋め考慮）
2015年は123分【82分】（←穴埋め考慮）
２．合格ライン
第１問：今年は小問５つ。後半3題がⅢCから。(1)(3)は全体のセットを考えるとおさえ、あと(2)(i)、(5)(i)(ii)まで欲しい。(4)と(5)(iii)はレベル高めのパターン問題なので、あまり差はつかないか。 7割あれは安心。
第２問は統計的な推測からで、分野的に難しくしにくいので取りたいが、対策の有無で出来は大きく分かれそう。キー問題。
第３問は数Ⅲの積分から。(2)まではおさえたい。(3)はキー問題。誘導に乗れたかどうか。ネタとしてはレベル高め。
第４問は確率メインで、あと数列、極限。去年の確率よりはラク。時間を残して押さえたいところ。
毎年のことですが、第１問に時間をかけすぎないかどうかが大事。ある程度で逃げて、第３問最後以外、第4問までやり切ったあと、取れそうなところに戻る。そうなると、「第２問の統計で合否を分ける」が現実味を帯びそう。
6割ぐらいでしょうか。
３．各問の難易度
第１問（１）【2次関数】定数入り2次関数の最大・最小（AB、 10分【6分】、Lv.1）
今年は最初に2次関数です。ただの軸分けで、全体のセットを考えると落とせません。
(i)はこちらの原則です。
（詳細は拙著シリーズ 数学Ⅰ ２次関数 p.63 参照）
後半は軸分け。下に凸で最小値なので、場合分けは3つです。
（詳細は拙著シリーズ 数学Ⅰ 2次関数p.31 参照）
ただ(i)の範囲では、実は軸は定義域内に入ります。それが見抜ければ場合分けは不要です。最小値mはａの2次関数になりますので、平方完成でＯＫです。aが具体的に出たら、最大値Ｍも具体的に出すといいでしょう。
※KATSUYAの解答時間は2:45です。(i)はD利用で瞬殺。(ii)は軸分け・・・いや、(i)の範囲なら定義域内確定か。なら簡単かな。
第１問（２）【空間図形】正八面体、立方体の体積（B、 15分【10分】、Lv.２）
6点座標が与えられ、それを頂点に持つ多面体の体積、および多面体の辺に頂点を持つ立方体の体積を求めます。どの分野か不明な問題で、受験生が苦手なタイプ。
最初はいいでしょう。多面体Sは正八面体で、その体積を求めるだけです。
後半は差が付きそう。中点なのでは？と思いがちですが、そうすると高さがわずかに高く、立方体になりません。例えばxy平面上以外にある辺に頂点がある立方体を考えたとして、(a,0,0)と(0,0,a)を結ぶ辺上にある頂点を(b,0,a－b)とでも表します。こう表すことが出来れば勝ちでしょう。
上4頂点のｚ座標は同じで、1辺が√２bの正方形になります。下の頂点は上の頂点とxy平面に関して対称ですから、高さは2(a－b)です。これが1辺に等しければ立方体になりますね。
※KATSUYAの解答時間は5:57です。立方体は最初中点か？と思ってしまったが、余りに簡単すぎるなと思い書いてみて、「いや、やっぱ違うな」となる。文字で置くしかないと判断し、上記解法で終了。
☆第１問（３）【微分法(Ⅲ)】関数の最小値（AB、15分【10分】、Lv.1）
数Ⅲの微分法からで、関数の最大・最小の問題です。第1問はここから先、全部ⅢＣの問題。新範囲をがっつり出してきますね。その中ではマシな方なので、これはおさえたいです。
絶対値が付いていますが、見掛け倒し。10^(-x)は正、log10^(-x)はx>0なら負です。従って絶対値の中身は負なので外せます。
係数ｘをもう一度真数にもどし、分母の10^(-x)も分子に上げて10^xにすれば、10^xのカタマリがみえるでしょう。t/log t という極めて単純な形の関数になりますので、あとは微分するだけです。
もちろん、置き換えずとも微分して求められます(それぐらいの計算力は必要！！)。
最後にlog10や最小値eを小数で答えることだけ注意しましょう。
※KATSUYAの解答時間は5:33です。さっそく数Ⅲきたか。絶対値入ってるんかぁ。とりあえず分母の10^(-x)は分子に上げて、係数－ｘを前に出して、、、ん？中身負やんけ。絶対値はずせるわ＾＾； あとはそのまま微分して終了。私は置き換えずに計算しました。慶應薬っぽい設定やなぁ。
☆第１問（４）【積分法(グラフ)】立体の体積、表面積（BC、25分【18分】、Lv.3）
引き続き数Ⅲから。円柱を斜めに切断したときの体積などを求める問題。体積は教科書によっては載ってるパターン問題ですが、レベルは高めです。切り口や側面積はもっとレベル高め。。。
※本エントリーでは、「原点を通りxz平面と３０度の角をなす平面」を、問われている内容や出題者の意図などから、妥当と思われる断面(①)を想定したものになっています。なお、大学側からは問題文の不備により全員正解との発表がありましたが、①の断面を想定して解く価値はあります。
体積は切断して断面積を求めて積分します。その際、どの方向に切るかがポイント。こちらの原則に従います。
（詳細は拙著シリーズ 数学Ⅲ 積分法(グラフ編) p.）
動画で詳しく解説してますが、x軸かy軸に垂直に切ると、直線だけで囲まれた図形が得られます。z軸は円弧が入るので避けた方がいいでしょう。
なお、拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅲ~積分法(グラフ編)』にもほぼ同じ問題があります＾＾(例題１０，２９で、全部の軸で切断した場合の解説をしています)
なお、x軸(に垂直に(x=tで)切断にすると断面積にルートも入らないので、積分計算自体は数Ⅱの範囲になります。これが一番早いでしょう。
（ii)は切り口と側面の面積。どちらも初見では厳しい。切り口は、xy平面に投影したときに半円になるので、実は面積に対して、直角三角形の斜辺と他の一辺みたいに、以下の式が適用できます。
切り口の面積×cos60°=半円の面積
証明はまさに直角三角形の辺の関係式が使えて、結局ｘ＝ｔ出来れば、出てくる線分の長さが常にcos60°倍だけ違います。従って、それを同じ区間で積分すれば上のような結果になります。
側面はかなり難しいと思います。昔東大で側面の展開図をかけ、みたいな問題が出た気がしますが、そんなのやってないと思いますので、分からなければ捨て問でしょう。
こちらも動画で詳しく解説しています。詳しくは動画をご覧ください。
なお、今回のように円柱を斜めに切った側面をはがして伸ばすと、サインカーブが出てきます。レベル高めですが、知っておいて損はないでしょう。
面積はそのサインカーブを０~２π(円弧半周分)で積分するだけです。
※KATUSYAの解答時間は7:11 です。知っていれば全部どうってことはないけど、ちょっとレベルの高いパターン問題な気がする。数Ⅲのレベル感、数ⅠⅡＡＢとずれてない？
☆第１問（５）【複素数平面+極限】1のn乗根、正n角形の面積、重心など（BC、22分【15分】、Lv.２）
ここもⅢＣから。1のn乗根を頂点とする正多角形の面積の極限と、7乗根絡みの値の計算。
前半の多角形の面積はいいでしょう。ピザ一切れですね。
（詳細は拙著シリーズ 数学Ⅰ 三角比 p.48）
極限はまともに求めるなら三角関数の極限の原則を使いましょう。０に収束するような文字に置き換え、角度をわせます。
（詳細は拙著シリーズ 数学Ⅲ 極限 p.45）
穴埋めなので、ｎが大きくなれば面積は円の面積に近づくことは容易に想像が出来ますから、πと答えてしまってもいいでしょう。
(ii)からはn乗根絡み。これはおさえたいです。こちらの原則そのままですね。
（詳細は拙著シリーズ 数学B・C 複素数平面 p.60）
シグマの式には１が入っていないので注意。答えはー１となります。
(iii)はレベル高めのパターン問題。７乗根絡みはちょくちょく見かけますが、初見だと思いつきにくいので難しい。誘導も少ない。
３倍した３αと３βで見ます。すると、
３α＝z+z^2+z^4
３β=z^3+z^5+z^6
となります。同じ色の２項は共役な複素数になります。ｎ乗根絡みではこちらも意識しておきたい式変形です。
（詳細は拙著シリーズ 数学B・C 複素数平面 p.60）
従って、３αと３βも共役です。従って、和も積も実数なので、これらを計算します。和は(ii)によりー１となり、積も展開して7乗＝１を使うと、キレイに(ii)の式が出て、２と計算できます。
あとは２次方程式をつくって具体的に求めるだけです。最後に３で割るのを忘れずに。おおまかに図を書けば、αの方が虚部が正だと分かります。
※KATUSYAの解答時間は5:41。これもパターンではあるからどうってことはないけど、結構レベル高め。初めて複素数平面が範囲に入った試験でこれは、受験生は結構キツイかも。
☆第２問【統計的な推測】和の範囲（B、15分【10分】、Lv.2）
ここも新範囲の統計的な推測から出題。初年度から新範囲を積極的に出してきてます。
ただ、統計の分野は教科書レベルから大きくかけ離れた難易度の問題は作りにくいので、ちょっと対策していればこれも取れるハズ。対策の有無がそのまま差になるでしょう。
題材は検定で、薬の治療効果に改善が見られたどうかを有意水準５％で検定します。
まず気を付けたいのが、これが片側検定であることです。両側なら表を見に行くことなく１．９６を覚えている人はおおいでしょうが、片側なので気を付けましょう。
帰無仮説と対立仮説については語句の意味のチェックです。これは基本。分からなかったら、すぐに教科書や参考書で確認。背表紙でも見れば載っているハズ！
帰無仮説のもとではp=0.4のままですから、そのままRは正規分布に従います。こちらもただの公式を埋めるだけ。ここまでだけでも、本分野の問題が難しくしにくいことがうかがえます。(共テなども同様です)
なお、標本「比率」の分布なので気を付けましょう。(名前は出しませんが、某予備校さんが思いっきり間違ってました)
(2)は記述です。1000人中「何人が効果があった」なら、改善されたと判断されるかです。言い換えると、
帰無仮説のもとで((i)で出した正規分布に従うとして)、1000人中ｎ以上に人に効果がある確率、すなわち比率n/1000以上になる確率が5％を下回るか
を求めます。なお、両側検定なら５％ではなく2.5％となります。
まずやるべきことはこちらです。データはまず標準化してｚにします。
（詳細は拙著シリーズ 数学B・C 統計的な推測 p.37）
この準備をしたら表を見に行きます。見方は確認しておくこと。今回見るべき値は、0.5-5%=0.45付近になるものです。調べると、スコアz0=1.64か1.65となります(どちらを選んでも同じ結果になります)。
従って、標準化した値が1.64(1.65)以上になるようなnの最小値を求めればOKです。ちょっと数値計算メンドウですね。
※KATSUYAの解答時間は12:14統計でがっつり記述問題ですか。拙著では穴埋めならこう解く、ってのと、記述用の答案もちゃんと書いてある。その時の記憶も割とあるのですんなり。なんか統計対策してない、みたいなポスト結構見かけるけど、勿体ないなぁ。。。
第３問【積分法(数式、グラフ)】逆関数と定積分（B、20分【23分】、Lv.3）
ここもがっつり数Ⅲの問題。逆関数を求め、その定積分から元の関数の定積分をうまく求めてね、という問題。グラフ的な考察も必要です。
(１)は逆関数の求め方に従って出すだけ。「ニ」は、逆関数と元の関数は定義域と地域が入れ替わるので、 元の関数の地域を出せってことです。微分は不要。単調増加ですからf(0)以上です。
(２)はその関数をただ積分するだけ。
(3)はまともに当たろうとすると√(x^2+a^2) 型の積分が出ます。これをノーヒントで解かせる可能性は極めて低いので、(2)がヒントになっていると考えます。
元の関数でｘ＝０~３は、代入するとf(x)としては２√２~４となります。その区間が(2)の積分区間と一致しています。これがポイントです。
グラフ上でどこの面積を表すかを考えると、(2)の積分と(3)の積分の和がきれいな長方形になることが分かりますので、長方形から(2)の結果を引くだけですね。
これも知ってれば余裕って感じですが、初見だと(3)は考え込むかもしれませんね。
KATSUYAの解答時間は4:16です。うん、これもパターンやねんけど、やっぱりレベル高め。来年以降もこんなレベルのパターン問題出すんかな。受験生結構大変になりそう。
第４問【確率＋極限】くじ引きと期待値、期待値の和と極限（BC、35分【20分】、Lv.２）
最後は確率です。今年の確率は昨年の地獄のような計算に比べるとだいぶマシだと思います。(ホンネ：80分の試験のときにあれを持ってくるな！苦笑）
（１）は全体から5回とも外れる確率を引くだけです。
（２）（３）について。式の形からして、「期待値はきっとｎ乗とかの積の形ばっかりで、ｎずらして約分したらいっぱい消えるんやろな」と思えればラク。
期待値の計算も大したことはなく、例えば5回目でもらえる得点の期待値は、5回目で当たる確率×50ｎとするだけです。外れたら0点なので計算不要。
実際約分はごっそりできて、3n/2(n+1) だけが残ります。これで(2)も(3)も出来ます。(3)の方が簡単＾＾；
（４）は期待値の和です。期待値の式が等差×等比の形をしていることも分かると思うので、こちらの原則です。
（詳細は拙著シリーズ 数学B・C 数列 p.25）
この手の計算はミスしやすいので、ｎ＝１，２あたりを入れて検算しましょう。
最後に極限ですが、問題文に書いてあることを利用すれば、(2/3)^nが入ってるところは全部ゼロです。(←証明も出来るようにしておこう) したがって、150だけ残りますね。
※KATSUYAの解答時間は5:54です。後半は逆に去年までより簡単に思えるな。80分ときより量減ってないか？？でもそう感じるのは、結局数Ⅲをパターンと思えるからかな。
４．対策~パターン問題を瞬時に見ぬき、素早く計算を~
今年から数ⅢＣが新しく入りましたが、その数ⅢＣの割合が結構高めです。今年基準なら、ⅢＣは重点的に演習すべきでしょう。何度も言及していますが、レベル的にも、レベル高めのパターン問題が多いです。
ⅢＣ以外は、同じく新範囲の「統計的な推測」を筆頭に、データ分析と確率は出題頻度が高め。あとは、ⅢＣに押されて出にくくなる単元があるかもです(数Ⅱの微積分とか)。それはあと数年ぐらい見てみないと分からないです。
ⅠⅡＡＢからの問題は原則習得、入試基礎レベルまでで7，8割対応出来ますが、ⅢＣのパターン問題は入試標準レベルまでやっておかないと手がつかないものも結構あります。時間が無いならⅢＣだけでも、このレベルまで演習しておいた方がいいでしょう。
なお、拙著「Principle Pieceシリーズ」であれば「原則習得」「入試基礎演習」の両方の段階を兼ねていますので、この後にもう入試標準演習の問題集に接続可能です＾＾
量をこなす演習：じっくり演習＝８：２ぐらいですね。
以上です＾＾
■関連する拙著『Principle Pieceシリーズ』(リニューアル版！)■
数学I Chapter１～2次関数～ (第１問(1))
数学A Chapter２～確率～ (第４問)
数学B・C Chapter１～数列～ (第４問)
数学B・C Chapter２～統計的な推測～ (第２問)
数学B・C Chapter４～複素数平面～ (第1問(5))
数学Ⅲ Chapter２～極限～ (第1問(5)、第4問)
数学Ⅲ Chapter４～微分法２～ (第1問(3))
数学Ⅲ Chapter５～積分法(数式編)～ (第3問)
数学Ⅲ Chapter６～積分法(グラフ編)～ (第1問(4)、第3問)
計算０．９ (計算練習帳です＾＾)
∫『calc.』 (理系の積分の計算練習帳です＾＾)
すでに原則系の参考書を持っている方にはこちらがおススメ！！
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■他年度の、本大学の入試数学■
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