東大数学9割のKATSUYAが販売する高校数学の問題集

同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。

本文にある緑字(この色)は、数学を受験する上で必要な原則を表しています。知らなかった場合は、言葉を覚えるだけでなく、必ず教科書や問題集等で該当する類題を数題見つけ、演習することで定着させてください。

自分で探して自分で解く。これが一番身につきます。

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Principle Pieceシリーズの好評販売中　原則習得のための参考書です。

YouTubeチャンネル　個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を紹介していこうと思います。

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関西大学（理系）数学（2月２日実施）

（試験時間100分、４問、ハイブリッド型）

※ハイブリッド型とは、穴埋め型と記述式の混合型のことです。

１．全体総評
２．合格ライン
３．各問の難易度など
４．対策

１．全体総評～(難+易)÷2で例年並みに～

大きく難化した2023年と、そこから今年は大きく易化した2024年の間ぐらいの難易度になりました。これで例年並みだと思います。

最初の微積総合は昨年よりは重めですが、いつも通りの関大理系。その他の穴埋部分なども例年並みか、ちょっと難しいところもあるかなって感じです。4番の小問の最初が個人的には意外とキツイと思いました。

試験時間100分に対し、標準回答時間は111分【90分】(←穴埋め考慮)　(2/2実施)

※時間的にも昨年とは真逆でかなり短いですね。

2025年は95分【80分】（←穴埋め考慮）(2/2実施)

2024年は130分【105分】（←穴埋め考慮）(2/2実施)

2023年は102分【84分】（←穴埋め考慮）(2/2実施)

2022年は95分【78分】（←穴埋め考慮）(2/2実施)

2020年は109分【87分】（←穴埋め考慮）(これ以前、2/7実施分)

2019年は97分【78分】（←穴埋め考慮）　

2018年は123分【97分】（←穴埋め考慮）

2017年は104分【86分】（←穴埋め考慮）

2016年は128分【102分】（←穴埋め考慮）

2015年は122分【88分】（←穴埋め考慮）

動画でも紹介していますので、お好きな方でご覧ください。

２．合格ライン～高得点での殴り合いか～

第１問は微積総合問題。これで例年並みぐらい。(3)までは合わせて、(4)も時間を確保して取れれば有利。

第２問の空間ベクトルはキー問題。昨年の穴埋めよりは難しめ。空間の扱いになれているかがカギ。

第３問の確率もキー問題。後半の確率と漸化式はいたって基本的なタイプですが、関大では見かけないので対策が薄いと差がつくかも。

第４問の小問集合は(1)の最後と(3)は差が付きそう。あとは押さえたい。(1)の最後は穴埋めを最大限に活用してセコク逃げたい・

第1問(3)まで、第2問か第3問で合わせて1完強は欲しい。第4問で最低4/7確保。残り時間で手が付きそうなところに行く。65％ぐらいですかね。

３．各問の難易度

☆第１問・・・【微積分総合】凹凸、グラフの概形、接線、面積（B、30分、Lv.1）

今年も微積分総合です。いつも通りいろいろ聞いてきます。問題文が親切な分、答えの確認(検算)はしやすくなってますが、どちらにしても計算はメンドウです。

(1)は導関数の計算。問題文の形になるはずなので、計算ミスも防ぎやすいでしょう。

(2)は変曲点なので第2次導関数の計算。その後の接線や面積に関わるのでここで計算をミスしないようにしたい。

logx /x，log/√x　系のおおまかなグラフの概形を知っていると検算になります。(例えば、極大点のx座標＜変曲点のx座標など)

(3)は変曲点における接線を求めるだけです。

(4)は面積なのでグラフを書き、交点(接点)や上下関係を把握します。

Principle Piece 面積に必要なのは「交点」と「上下関係」

（詳細は拙著シリーズ数学Ⅱ 積分法 p.28 参照)

グラフは(1)(2)の微分で概形を書けばいいと思います。増減凹凸表までは大げさでしょう。x=e^2で極大になることぐらいを断っておけば十分。

正確には接線からf(x)を引いて0以上を示すのでしょうが、「見ている範囲内で上に凸なので」でもOKだと思います。なお、変曲点における接線なので、接するというよりも交わるという感じの線になります。

場所が把握出来たら面積を求めます。f(x)の積分は部分積分です。関大の微積分総合ではほぼ毎年出ますね。今回は多項式を先に積分しましょう。

Principle Piece 部分積分の優先順位指数＝三角>多項式(>対数)

（詳細は拙著シリーズ数学III 積分法(数式編) p.12 参照)

いったんf(x)の部分だけ取り出して不定積分として計算してしまえばいいと思います。

最後の代入まで含めて計算は繁雑気味ですが、関大理系の微積分総合の最後はいつもこんな感じです。今年は式の形で検算も出来るので親切だと思います。出題者側としては、答え方を1通りにして採点を楽にするためでしょう。

※KATSUYAの解答時間16:10。これぐらいがいつも通りって感じかな。式の形が与えられているから検算できる。同志社理系でもこんな形やったど、今後こう言う大学増える？

第２問・・・【空間ベクトル】3点を通る球面の中心と半径など（B、20分【13分】、Lv.2）

空間内の3点を題材に、三角形の面積や球面について聞いてきます。一昨年はここが最難、昨年は多分最易でしたが、今年は例年並みかちょっと差が付きそうって感じのレベルになりました。

面積ですが、空間ベクトルですしベクトルの三角形の面積公式がいいでしょう。その過程で内積がゼロになり、△OABが直角三角形であることも分かるので、外心は斜辺の中点です。これがすっと出ないと(△OABが直角三角形と見抜けないと)この大問が結構キツイ。

次はO,A,Bを通る球面の中心Pですが、Pが外心Hを通って平面OABに垂直な直線上にあることを利用します。これを使えないと後半はほぼ全滅です。

これにより体積は△OAB×PH÷３で出せるので、PHはこれで出せます。なお、PHが出れば最後の球の半径が先に出せます。円と直線のときみたいに、こちらの原則を使えば三平方で出せいます。

Principle Piece 球面の平面による切り口 dとrと三平方で

（詳細は拙著シリーズ数学B・C 数列 p.46 参照）

本問なら直角三角形PHOに着目すればｄ＝PH、半径がOABの外接円の半径OHで分かるので、球面の半径＝rも出ます。

Pの座標が少し難しかったかもしれません。Hを通り、OABに垂直な方向に5√2/2だけ進んだところにあります。なので、OAとOBの両方に垂直なベクトルがどんな方向かを内積を使って計算します。平面に垂直なベクトルの計算でよく見かけますね。

文字でおけば(0,y,－y)などとなり、結局(0,1,－1)の方向となります。これで長さ√２なのでこれの2.5倍進めばOKということですね。

後半では動画のように、球面と平面が交わる様子を書くといいでしょう。その際、座標に忠実に書くのではなく、平面を横にして書いた方が様子がつかみやすいです。

※KATSUYAの解答時間は9:12です。昨年の3倍近くかかってるけど＾＾；　関大の穴埋め問題にしてはちょっとレベル高めか。

☆第３問・・・【確率+数列】反復試行、確率と漸化式、極限（B、20分、Lv.２）

前半は点を移動させるタイプの反復試行、後半は確率と漸化式です。関大では確率と漸化式はあまり見かけないので、対策が薄いとこれでも差がついたかもしれません。(確率と漸化式の中では全然易しい方ではあります)

(1)は回数も自分で特定するタイプ反復試行なので、こちらの原則に従います。

Principle Piece 回数不明の反復試行では出る回数を文字で置く

（詳細は拙著シリーズ数学A 確率 p.22 参照）

もちろん、反復試行の基本原則も忘れずに。

Principle Piece 反復試行は1回あたりを整理しておく

（詳細は拙著シリーズ数学A 確率 p.18 参照）

今回は記述なので素直に、4以上がa回、2以下がb回、3がc回出るとして条件を式にして、それに当てはまるa,b,cの組み合わせを探します。a+b+c=5なので、全部0以上5以下であることを忘れず。事象Aの組み合わせは(3,0,2)、(4,1,0)です。

後半は条件付き確率なのでこちらの原則です。

Principle Piece 条件付き確率 → 「とき」の前後／「とき」の手前

（詳細は拙著シリーズ数学A 確率 p.27 参照）

本問は分かりやすく、分母がP(A)、分子がP(A∩B)です。ただし、Bが起こっているならAは起こっているので、実質分子はP(B)です。Bの組み合わせは前者(3,0,2)のときだけなので、これで出せますね。

(2)も同じです。a－bが偶数になる場合です。奇偶が一致するので和も偶数で、和が0か2になる場合と考えれば(0,0,2),(2,0,0),(1,1,0),(0,2,0)になります。最初の(0,0,2)が抜けがちなので注意。

(3)は確率と漸化式です。私のチャンネルの動画などを見ていればどうってことなかったとは思いますが、関大ではあまり見ないので差がついたかもしれません。

確率と漸化式はこちらの原則3点セットで基本的には解けます。

Principle Piece [1] n回目からn+1回目の遷移を詳しく
[2] 求める部分以外の確率も文字でおく
[3] 確率の和＝１、対称性で文字を減らす

（詳細は拙著シリーズ数学B・C 数列 p.78 参照）

本問の場合、あり得る状態は偶数か奇数だけです。その推移を見ていきます。

そのうえで漸化式を立てますが、奇数の状態からも偶数になりうるので、奇数の方の確率も必要だよねってことで[2]の原則が来ます。

でも今回みたいに状態が2つなら、足したら１なんだから奇数の方は1－pnで置くのが手っ取り早いという思考プロセスです。

結局、「n回後に偶数で3の目」または「n回後に奇数で3以外の目」として漸化式を作れます。

(4)漸化式が作れたら一般項を求めるのは簡単です。よく見かける形ですね。

Principle Piece 漸化式4型(pa_n+q 型) 特性方程式の解で等比型へ

（詳細は拙著シリーズ数学B・C 数列 p.38 参照）

特性方程式の解1/2とでますが、これが極限値になります。ここで1/2が出て安心できます。(奇数か偶数なので半々ぐらいが自然)

出た一般項も、p1やp2(←(2)で計算済み)を使って検算するといいでしょう。

※KATSUYAの解答時間は11:26。前半は計算ミスしやすそうなタイプ。後半はこのタイプとしてはひな型レベルやけど、対策が薄いとこれでも差は付くかな。

第４問（１）・・・【式と証明】不等式、表面積一定の直方体の体積の最大値（B、18分【12分】、Lv.2）

とある不等式の証明を行い、それを利用して表面積がSの直方体の体積を求めるというもの。前半はただの式変形ですが、最後だけは記述式なら本セット最難問レベルです。

最初の因数分解はいいでしょう。次の式変形も有名な式変形です。拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅱ～式と証明～』でもそのまま掲載しています。(p.39)

これにより題意の不等式が成り立ち、等号成立は2乗部分が全部ゼロになればいいので、当然a=b=cのときです。

最後が難しい。正直穴埋めなら「どうせ立方体のときやろ」で決め打ちしてしまえば答えは出せます。立方体の時が最大です。(形状を指定しない場合、表面積一定の立体で体積が最大になるものは対称性の最も高い球になります)

実際、問題文の不等式をどう使うのか迷ったと思います。まず不等式はa^3=Aなどと置き換えて3乗を消すことで、3数の相加平均・相乗平均の関係を表していることに気づかないと厳しいです。なお、これも拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅱ～式と証明～』でほぼ同じ問題を掲載しています。(pp.65～67)

一方、直方体を構成する3辺の長さをx,y,zとると、表面積Sというのはxy+yz+zx=S/2となります。そして、このxy,yz,zxに対して3つの相加平均。相乗平均を利用します。すると

となり、右辺が体積のxyzの2/3乗なので、最大値は(S/6)の3/2乗となります。ちょっと誘導が飛んでいて難しかったですね。

第４問（２）・・・【複素数平面】二等辺三角形の頂角（AB、6分【4分】、Lv.1）

複素数平面上の3点が二等辺三角形になるように頂角の位置を求める問題。複素数平面表記が、ただの座標の問題です。

頂角がCの二等辺三角形という条件から、CはABの垂直二等分線上にあります。よって、ABの中点(3+4i)を取って傾きー1の直線上にあります。後は面積の情報から長さ4√2だけ上に行けばOKです。

傾きからして、x方向に－４、y方向に4動くだけです。数値設定もかなり親切で、暗算で出来そうですね。

第４問（３）・・・【指数対数】対数方程式（AB、9分【6分】、Lv.1）

対数方程式の問題。初見だとちょっと難しいかもですが、２項しかないので右辺に移項して底を4とする対数を取ります。すると左辺に(log x)^2のような項が出てくることがポイント。こちらの原則ですね。

Principle Piece 対数項のかけ算・割り算 → 対数を置き換える

（詳細は拙著シリーズ数学Ⅱ 指数関数・対数関数 p.32 参照）

結局置き換えるとX^2－5/2X+3/2=0となり、簡単に因数分解出来ます。最後にxに直すのを忘れずに。不安なら答えを代入して成り立つことを確かめましょう。

第４問（４）・・・【三角関数】三角方程式（AB、8分【5分】、Lv.2）

最後は三角方程式。こちらもそんなに難しくないです。

3θや2θに倍角の公式を使えば、全項にsinθが出ますので、くくれることが見えます。関大のような難関私大を受けるなら3倍角も必須と心得ましょう。

くくった中はsin^2θの項とcosθの項があります。こちらの原則ですね。

Principle Piece 2乗は相互関係で自由に乗り換え可能

（詳細は拙著シリーズ数学Ⅰ 三角比 p.24 参照）

2乗の方を1乗の方に合わせてあげましょう。結局くくった中は重解になります。因数分解に気づかなければ解の公式で解けばOK。

※KATSUYAの解答時間は順に1:34、1:01、0:52、1:24。(1)は穴埋めやからこの時間で済むけど、記述やったらかなり難しくなると思うなぁ。

４．対策～第４問の穴埋めまでまんべんなく～

小問も含めると、分野的にはまんべんなく出ます。数IIIの微積総合問題も出やすいです。

題材自体はそんなに難しいものではありませんので、変に難しいものをやるのではなく、チャート式の典型問題や基礎的な入試問題で演習量を積んでおきましょう。

また、第４問の小問はちょっとばかし癖のある小問です。過去問を長年分手に入れて、ここだけを集中的にこなして感覚を体にしみこませるのもありです。 IAIIBは穴埋め形式での出題が多いです。奇問はそこまでありませんが、傍用問題集の単問に比べるとひねりや融合がありますので、いろんな表現になれるために量をこなしておきましょう。

チャートは黄色か青、どちらでもいいと思います＾＾段階的には、チャート系で原則習得、その後に入試基礎演習のレベルの参考書をこなし、それから過去問に移行するという形になります。

拙著「Principle Pieceシリーズ」は「原則習得」「入試基礎演習」の両方の段階を兼ねていますので、そのまま過去問に接続できます＾＾

(※量をこなしたい場合は、さらに入試基礎演習の問題集は必要です)

以上です。

■関連する拙著『Principle Pieceシリーズ』(リニューアル版！)■

※出題分野が多いのが分かりますね。

数学A Chapter２～確率～　(第３問)

数学II Chapter１～式と証明～　(第４問(1))

数学II Chapter４～三角関数～　(第４問(4))

数学II Chapter５～指数関数・対数関数～　(第４問(3))

数学B・C Chapter１～数列～　(第３問)

数学B・C Chapter３B～空間ベクトル～　(第２問)