2014年度版「中学生でも解ける大学入試問題（数学）」その９

　さて第９弾は，神戸大学（文・理）大問２を紹介しましょう。

m，n（m＜n)を自然数とし，

　a＝n＾2－m＾2　　b＝2mn　　c＝n＾2＋m＾2

とおく。三辺の長さがa，b，cである三角形の内接円の半径をｒとし，その三角形の面積をＳとする。このとき，次の問いに答えよ。

（１）a＾2＋b＾2＝ｃ＾2を示せ。

（２）ｒをm，nを用いて表せ。

（３）rが素数のときに，Ｓをｒを用いて表せ。

（４）ｒが素数のときに，Ｓが６で割り切れることを表せ。

　これで配点が２５点。中学生の知識で充分にチャレンジできますから，受験生の立場で考えると「絶対に落とせない問題」ということになりますね。

（１）a＾2＋b＾2＝(n＾2－m＾2)＾2＋（2mn）＾2＝n＾4＋4ｍ＾2n＾2＋ｍ＾4＝（n＾2＋m＾2）＾2＝ｃ＾2

（２）　（１）より△ＡＢＣは斜辺がcの直角三角形であるから，Ｓ＝ab/2

　一般に三角形の内接円の半径ｒは，３辺の長さa，b，cと面積Ｓを用いて，ｒ＝２Ｓ/a＋b＋c（中学生でも必ず覚えておくべき公式！）と表すことができる。

このとき，分子＝２Ｓ＝ab＝2mn(n＾2－m＾2)，分母＝a＋b＋ｃ＝2n＾2＋2mnより，

ｒ＝2mn(n＾2－m＾2)／2n＾2＋2mn＝m(n＋m)(n－m)／(n＋m)＝m（n－m)

（３）ｒ＝m（n－m)で，rが素数であるから，mとn－mのどちらか一方は必ず１

また，Ｓ＝ｒ（a＋b＋c)/２・・・☆　　も成り立つ（（２）で紹介した式の変形）。

①ｍ＝１のとき　n－m＝ｒよりn＝ｒ＋1

a＋b＋c＝2n＾2＋2mn＝2n（n＋m)＝2n(n＋1)＝2(ｒ＋1)(ｒ＋2)

これを☆に代入して，S＝ｒ（ｒ＋1）（ｒ＋2）

②ｎ－ｍ＝１のとき　ｍ＝ｒよりｎ＝ｒ＋１

a＋b＋c＝2n＾2＋2mn＝2n（n＋m)＝2n(n＋ｒ)＝2（ｒ＋1）（2ｒ＋1）

これを☆に代入して，Ｓ＝ｒ（ｒ＋1）（2ｒ＋1）

（４）　Ｓ＝ｒ（ｒ＋1）（ｒ＋2）のとき：ｒ，ｒ＋1，ｒ＋2は連続する３つの整数であるからその積は必ず６の倍数。

Ｓ＝ｒ（ｒ＋1）（2ｒ＋1）のとき：

ｒ（ｒ＋1）（2ｒ＋1）＝ｒ（ｒ＋1）｛（ｒ－1）＋（ｒ＋2）｝

＝（ｒ－1）ｒ（ｒ＋1）＋ｒ（ｒ＋1）（ｒ＋2）

これは連続する３つの整数の積を２種類足したものであるから，その和も必ず６の倍数。