『2013年度版「中学生でも解ける大学入試問題（数学）」その９』

第９弾は，再び千葉大学です。大問４に確率の問題が出ています。

１から９までの番号をつけた９枚のカードがある。これらを無作為に１列に並べる試行を行う。

（１）下記の条件（Ａ）が成り立つ確率を求めよ。

（２）下記の条件（Ｂ）が成り立つ確率を求めよ。

（３）条件（Ａ），（Ｂ）が同時に成り立つ確率を求めよ。

ただし，条件（Ａ），（Ｂ）は次のとおりである。

（Ａ）番号１のカードと番号２のカードは隣り合わない。

（Ｂ）番号８のカードと番号９のカードの間には，ちょうど１枚のカードがある。

それでは考え方を記していきます。

（１），（２）は基本通りに解き，（３）に十分な時間を取りましょう。ベン図を描いてみると処理方法が見えてくるのではないでしょうか。

９枚のカードの並べ方は全部で９！通りあり，これらはすべて同様に確からしい。

（１）余事象の考え方を用いるのが定石でしょう。

１と２のカードを合わせて１枚と考え，全部で８枚のカードを並べる。ただし，１・２の順と２・１の順があるので，その並べ方は，２×８！通り。　

よって，求める確率は，１－（２×８！）/９！＝７/９

（２）８と９の間に入る数字をＫとし，８・Ｋ・９のカードを合わせて１枚と考え，全部で７枚のカードを並べる。ただし，８・Ｋ・９の順と９・Ｋ・８の順があり，Ｋに入るカードが７通りあるので，その並べ方は，２×７×７！通り。　

よって，求める確率は，　（２×７×７！）/９！＝（２×７）/９×８＝７/３６

（３）　（２）で求めた条件から，「１・２が続く場合」を除けばよい。

　（２）にＫに１，２以外の数字が入る場合（Ｋに入る数字は５通り）を考える。

８・Ｋ・９と１・２をそれぞれ１枚と考え，全部で６枚のカードを並べる（並べ方は６！通り）

　その並べ方は，２×２×５×６！通りだから，この場合の確率は，

　　（２×２×５×６！）/９！＝５/１２６

よって，求める確率は，７/３６－５/１２６＝１３/８４

次世代を担う子供たちの現在そして未来