中学生でも解ける2009大学入試問題（４）

北海道大学（前期）理系大問１

△ＡＢＣを底面として，組み立てた図のイメージ（略図）をとれることが受験生として必須。３点Ｄ，Ｅ，Ｆが重なる点をＯ，Ｏから△ＡＢＣへ下ろした垂線の足をＨとおくとき，Ｈの位置を把握できれば楽勝。各種サイトの解説をチェックしているが，「どうしてこんな面倒な解き方をするんだか？」と首をかしげている。中学生でも受験直前期であれば5分以内で正解して普通。

考え方

Ｈの位置を確定できる感覚があるかどうか。ＯＡ＝ＯＢよりＨＡ＝ＨＢも成り立つので，Ｈは線分ＡＢの垂直二等分線上。また，∠ＡＣＤ＝90°より，∠ＡＣＯ＝∠ＡＣＨ＝90°も明らか。つまりＨの位置は「ＡＢの垂直二等分線とＣＤの延長が交わる場所」となる。よって，ＣＨ＝1／2ＡＢ＝2。

ＣＯ＝ルート7より，△ＣＯＨに三平方の定理を用いると，ＯＨ2＋ＣＨ2＝ＣＯ2　4＋ＣＨ2＝7　∴ＣＨ＝ルート3　△ＡＢＣ＝6より，求める体積＝ルート3×6×1/3＝2ルート3