世の中の粒子は、「フェルミ粒子(Fermi particle)」か「ボーズ粒子(Bose particle)」かのどちらかです。その量子統計性(quantum statistics)の違いは、粒子につけたラベルの交換に対する「対称性(symmetry)」に関わっています。
「ラベルをつける」の意味をもっと具体的に説明しますと、粒子の位置やスピンの値を指定することです。例えば、二つの電子があります。位置Aにいる電子を「電子１」とラベルして、位置Bにいる電子を「電子２」とラベルすることができます。「ラベルを交換する」というのは、位置Aにいる電子を逆に「電子２」と呼んで、位置Bにいる電子を「電子１」と呼ぶことです。
ラベルを交換しても、波動関数が変わらないことを「対称(symmetrical)」といいます。ラベルを交換すると、波動関数の位相が180度変化することを「非対称(asymmetrical)」といいます。
ボーズ粒子とは、ラベルの交換に対して、波動関数が「対称」な粒子のことです。
フェルミ粒子とは、ラベルの交換に対して、波動関数が「非対称」な粒子のことです。
対称性を考えると、二つの相互作用しない同種粒子の波動関数を表現するときに、ψ(i,j) = ψ(i)ψ(j) と書くことが許されません。なぜなら、この表現から、波動関数が対称か、非対称か、わからないからです。意味不明な波動関数になってしまいます。つまり、正しく表現するには、対称性を考慮に入れる必要があります。
二つの相互作用しないフェルミ粒子の波動関数は ψ(i,j) = ψ(i)ψ(j) - ψ(j)ψ(i) と表現するのが正しいです。このように表わすと、ラベルの交換で位相が180度変化することがわかります。つまり、ψ(j,i) = -ψ(i,j) のことです。
ボーズ粒子の場合では、ψ(i,j) = ψ(i)ψ(j) + ψ(j)ψ(i) と表現すればいいです。ラベルを交換しても位相は変わらないので、ψ(j,i) = ψ(i,j) になります。
粒子の「量子統計性の違い」はここにあります。
二つの相互作用しない同種粒子が同じ状態になることを考えましょう。同じ状態というのは、二つの粒子に同じラベルをつけるしかない状況です。例えば、二つの粒子が同じスピンで、同じ位置にいることです。つまり、i = j となることです。
フェルミ粒子の場合では、波動関数は ψ(i,j) = ψ(i)ψ(j) - ψ(j)ψ(i) なので、i = j では波動関数が「ゼロ」になってしまうのです。ボーズ粒子の場合では、波動関数は ψ(i,j) = ψ(i)ψ(j) + ψ(j)ψ(i) なので、i = jでも波動関数はゼロにはなりません。
以上のことから、二つのフェルミ粒子が同じ状態を持つことは許されないことがわかります。これを「Pauliの排他律」と呼びます。逆に、二つのボーズ粒子なら、粒子同士が全く同じ状態になってもいいことが言えます。これが、粒子の「量子統計性」と呼ばれるものの起因です。
「ラベルをつける」の意味をもっと具体的に説明しますと、粒子の位置やスピンの値を指定することです。例えば、二つの電子があります。位置Aにいる電子を「電子１」とラベルして、位置Bにいる電子を「電子２」とラベルすることができます。「ラベルを交換する」というのは、位置Aにいる電子を逆に「電子２」と呼んで、位置Bにいる電子を「電子１」と呼ぶことです。
ラベルを交換しても、波動関数が変わらないことを「対称(symmetrical)」といいます。ラベルを交換すると、波動関数の位相が180度変化することを「非対称(asymmetrical)」といいます。
ボーズ粒子とは、ラベルの交換に対して、波動関数が「対称」な粒子のことです。
フェルミ粒子とは、ラベルの交換に対して、波動関数が「非対称」な粒子のことです。
対称性を考えると、二つの相互作用しない同種粒子の波動関数を表現するときに、ψ(i,j) = ψ(i)ψ(j) と書くことが許されません。なぜなら、この表現から、波動関数が対称か、非対称か、わからないからです。意味不明な波動関数になってしまいます。つまり、正しく表現するには、対称性を考慮に入れる必要があります。
二つの相互作用しないフェルミ粒子の波動関数は ψ(i,j) = ψ(i)ψ(j) - ψ(j)ψ(i) と表現するのが正しいです。このように表わすと、ラベルの交換で位相が180度変化することがわかります。つまり、ψ(j,i) = -ψ(i,j) のことです。
ボーズ粒子の場合では、ψ(i,j) = ψ(i)ψ(j) + ψ(j)ψ(i) と表現すればいいです。ラベルを交換しても位相は変わらないので、ψ(j,i) = ψ(i,j) になります。
粒子の「量子統計性の違い」はここにあります。
二つの相互作用しない同種粒子が同じ状態になることを考えましょう。同じ状態というのは、二つの粒子に同じラベルをつけるしかない状況です。例えば、二つの粒子が同じスピンで、同じ位置にいることです。つまり、i = j となることです。
フェルミ粒子の場合では、波動関数は ψ(i,j) = ψ(i)ψ(j) - ψ(j)ψ(i) なので、i = j では波動関数が「ゼロ」になってしまうのです。ボーズ粒子の場合では、波動関数は ψ(i,j) = ψ(i)ψ(j) + ψ(j)ψ(i) なので、i = jでも波動関数はゼロにはなりません。
以上のことから、二つのフェルミ粒子が同じ状態を持つことは許されないことがわかります。これを「Pauliの排他律」と呼びます。逆に、二つのボーズ粒子なら、粒子同士が全く同じ状態になってもいいことが言えます。これが、粒子の「量子統計性」と呼ばれるものの起因です。