日本製紙株式会社のサイトを見ていたら、こんな記事
がありました。
紙パックの空の状態では、1000ml分はないけど、液体が入れば、容器が変形して、1000ml入るというものです。
少し見ていきましょう。
紙パックの高さは、液体が入ったところで変わらなく、断面のみが変形すると考えます。
そうすると、断面積が広がれば、体積も大きくなります。
（断面積を鉛直方向に積分すれば体積が求められるが、積分区間は変わらなければ、断面積の大小関係が体積の大小関係になる）
紙パックは文字通り紙でできていて、紙はほとんど伸び縮みしないと考えます。
すると、断面積の周囲の長さは変わらなくなります。
空のパックでは、正方形となっているので、１辺の長さを1とすれば、周囲の長さは4となります。
これを思いっきり変形させて、円形になったとすると、周囲の長さが変わらないので、円の半径は
半径＝4/(2π)＝2/π
となります。
正方形の面積＝1×1＝1
円の面積＝（2/π）^2×π＝4/π
πは3.14で、4よりも小さいから円の面積は正方形の面積よりも広くなります。
実際には、円形にはならないけど、正方形よりは外側にたわんだ形になるので、1よりは大きくなります。
数学的な証明としては足りないけど、感覚的な理解には、これで十分かな。