Julia集合とは、離散力学系、或いは、写像に定義される、カオスの指標とされる集合である。これについて、あまりまとまった記事を見かけないので、簡単にまとめる。
写像F:M→Mに於ける``充填Julia集合(Filled Julia set)''K(F)は
![K(F):=\{ \ x \in M \ | \ F^{(n)}(x)<\infty, \ ^\forall n \in \mathbb{Z} \cup \{ \infty \} \ \}](https://img-proxy.blog-video.jp/images?url=http%3A%2F%2Flatex.codecogs.com%2Fgif.latex%3FK%28F%29%3A%3D%5C%7B%26space%3B%5C%26space%3Bx%26space%3B%5Cin%26space%3BM%26space%3B%5C%26space%3B%7C%26space%3B%5C%26space%3BF%5E%7B%28n%29%7D%28x%29%3C%5Cinfty%2C%26space%3B%5C%26space%3B%5E%5Cforall%26space%3Bn%26space%3B%5Cin%26space%3B%5Cmathbb%7BZ%7D%26space%3B%5Ccup%26space%3B%5C%7B%26space%3B%5Cinfty%26space%3B%5C%7D%26space%3B%5C%26space%3B%5C%7D)
で定義される。つまりK(F)は無限遠点に行かないMの部分集合である。
また、写像F:M→Mに於ける``Julia集合(Julia set)''J(F)は、充填Julia集合の境界∂K(F)で与えられる。
![J(F) =\partial K(F)](https://img-proxy.blog-video.jp/images?url=http%3A%2F%2Flatex.codecogs.com%2Fgif.latex%3FJ%28F%29%26space%3B%3D%5Cpartial%26space%3BK%28F%29)
Julia集合には以下の様な性質がある(但し、全ての性質が、一般のMに於いて成り立つかは不明):
・Fato集合の補集合
・全て周期の反発周期点の和集合の閉包
・![J(F) \neq \emptyset](https://img-proxy.blog-video.jp/images?url=http%3A%2F%2Flatex.codecogs.com%2Fgif.latex%3FJ%28F%29%26space%3B%5Cneq%26space%3B%5Cemptyset)
・![J(F) =J(F^{(n)}), \quad ^\forall n \in \mathbb{Z}](https://img-proxy.blog-video.jp/images?url=http%3A%2F%2Flatex.codecogs.com%2Fgif.latex%3FJ%28F%29%26space%3B%3DJ%28F%5E%7B%28n%29%7D%29%2C%26space%3B%5Cquad%26space%3B%5E%5Cforall%26space%3Bn%26space%3B%5Cin%26space%3B%5Cmathbb%7BZ%7D)
・![J(F) =F(J(F))](https://img-proxy.blog-video.jp/images?url=http%3A%2F%2Flatex.codecogs.com%2Fgif.latex%3FJ%28F%29%26space%3B%3DF%28J%28F%29%29)
最初の2つの性質は、Julia集合の同値な定義である。また、最後の2つの性質は、Julia集合がある意味で写像の不変量である事を示している。
文献:
英語版Wilipedia, "Julia set",
中西敏浩, "複素力学系入門".
写像F:M→Mに於ける``充填Julia集合(Filled Julia set)''K(F)は
で定義される。つまりK(F)は無限遠点に行かないMの部分集合である。
また、写像F:M→Mに於ける``Julia集合(Julia set)''J(F)は、充填Julia集合の境界∂K(F)で与えられる。
Julia集合には以下の様な性質がある(但し、全ての性質が、一般のMに於いて成り立つかは不明):
・Fato集合の補集合
・全て周期の反発周期点の和集合の閉包
・
・
・
最初の2つの性質は、Julia集合の同値な定義である。また、最後の2つの性質は、Julia集合がある意味で写像の不変量である事を示している。
文献:
英語版Wilipedia, "Julia set",
中西敏浩, "複素力学系入門".