Julia集合

Julia集合とは、離散力学系、或いは、写像に定義される、カオスの指標とされる集合である。これについて、あまりまとまった記事を見かけないので、簡単にまとめる。

写像F:M→Mに於ける``充填Julia集合(Filled Julia set)''K(F)は

$K(F):=\{ \ x \in M \ | \ F^{(n)}(x)<\infty, \ ^\forall n \in \mathbb{Z} \cup \{ \infty \} \ \}$

で定義される。つまりK(F)は無限遠点に行かないMの部分集合である。

また、写像F:M→Mに於ける``Julia集合(Julia set)''J(F)は、充填Julia集合の境界∂K(F)で与えられる。

$J(F) =\partial K(F)$

Julia集合には以下の様な性質がある（但し、全ての性質が、一般のMに於いて成り立つかは不明）：

・Fato集合の補集合

・全て周期の反発周期点の和集合の閉包

・ $J(F) \neq \emptyset$

・ $J(F) =J(F^{(n)}), \quad ^\forall n \in \mathbb{Z}$

・

最初の２つの性質は、Julia集合の同値な定義である。また、最後の２つの性質は、Julia集合がある意味で写像の不変量である事を示している。

文献：

英語版Wilipedia, "Julia set",

中西敏浩, "複素力学系入門".