弱同値とホモトピー同値

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A, Bを対象,

AからBへの射をf,

BからAへの射をg,

fとfの射の合成をg○f,

gとfの射の合成をf○g,

とする。このとき

g○fが1_A、つまり、Aへの恒等射になり、かつ、f○gが1_B、つまり、Bへの恒等射になるとき、f（及びg）は、AからB（及びBからA）への同値（同型射と呼ばれる事が多いが便宜のため）と呼ぶ

g○fが1_A、つまり、Aへの恒等射になり、かつ、f○gが1_B、つまり、Bへの恒等射に"ならない"とき、fは、AからBへの弱同値と呼ぶ


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例
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A, Bを位相空間,

AからBへの連続写像をf,

BからAへの連続写像をg,

fとgの連続写像の合成をg○f,

gとfの連続写像の合成をf○g,

とする。このとき

g○fが1_A、つまり、Aへの恒等写像になり、かつ、f○gが1_B、つまり、Bへの恒等写像になるとき、f（及びg）は、AからBへの同値（或いは同相写像）と呼ぶ

g○fが1_A、つまり、Aへの恒等写像になり、かつ、f○gが1_B、つまり、Bへの恒等写像に"ならない"とき、fは、AからBへのホモトピー同値（或いは擬同型）と呼ぶ

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