今回は完全にメモです。素通りする事をお勧めします。
主旨は、場の理論に必要なデータとは何か、それに関わる数学との関係という感じで適当に書きました。
A. 時空について
時空多様体 ＝ Riemann（Lorentz）多様体 (M, g) ： 現代物理学では、局所的（～理論のパラメータが小さな範囲？）に"良い"性質（～法則や対称性？）を持っていて、それが"非自明"な方法で"張り合わされている"状況を考える。この仮定はある意味で局所的なルールが大域的なルールに"連続的"につながる事を意味しているようである。特に重力の理論は時空間の距離（～計量）又は曲率によって決定されると考える。
Mが決まる ⇒
1) Topologyが決まる ～ Mの（何らかの）Homologyが決まる
⇒ 多様体上の（おおよそ）函数空間が分類される（？）
⇒ 計量gの自由度が決まる（？） ～ Moduli空間（～Riemann多様体の同型類の空間）が決まる（？）
2) 開か閉か？Compactか？連結か？向き付け可能か？等々が決まる ⇒ Spinorが定義出来るか等が決まる（？）
⇒ 次に書くように、Mが持つ対称性（～Mに作用する変換群）に対称性が埋め込める（回転の場合回転対称性、複素の場合、複素係数対称性が埋め込める）ならば、Mには対称性に由来する物理を記述する事が出来る（？）
3) Mは等質空間か？
⇒（yes） MはLie群の商空間で表現される
⇒ Mに定まる最大の対称性Gが決まる
⇒ Gの表現によりMに（大域的に）定義可能なFiber Fが分類される（？） ～ （大域的に）定義可能な物理量が分類される
⇒ Fiberの分類とK理論の関係は？
疑問：
・そもそも多様体である必要があるか？
・Riemann多様体のModuli空間は何で特徴付けられているか？（Diffeomorphism？）
・1), 3)の関係は？ ～ 多様体と表現とFiberの関係は？
・対称性とはLie群的であるべきか？他の方法はないか？
B. 場について
場 ＝ (M, g, G)の上に、Fiber F（表現）を生やす (F, π, (M, g), H) （Hは構造群 ～ 内部対称性（？）） ： 場とは多様体上の函数概念の一般化である。つまり多様体上に自由度（場の住む空間～ベクトル空間等）を加え、多様体の各点に自由度方向の値が対応する。構造群はいくつかの場をセットにして考えたFiber上に定義される対称性を定める（～内部対称性）。これは作用（～運動方程式）から決まる（？）
(F, π, (M, g), H)が決まる ⇒
1) Hは作用S（～運動方程式）から決まる（？）
⇒ Sは任意にとれる（？）
⇒ H(S)と書くべき（？）
⇒ 作用Sには時空対称性Gから制限がつくか？これはColeman-Mandulaの定理より、時空対称性と内部対称性が独立となる事から問題無し？
2) H(S)とGの関係は？ ～ 時空対称性と内部対称性の関係は？
⇒ 通常は無し（？）
⇒ 超対称性を入れると混ざる
⇒ 任意のGで成り立つ関係か？（つまりGがPoncare群である事は様々な場面で必要か？）超対称性が入れられるM, G等への条件は？
3) Gauge原理によりGやH(S)に対する大域的対称性を持つ作用Sを、局所対称性を持つ作用に書き換える（？） ⇒
3-1) 時空対称性を局所化すると重力理論になる（？今の場合、始めから時空がRiemann多様体である事を仮定しているので変か？）
⇒ （超対称性がある場合）他の対称性も絡み合ってるので自動的に局所内部対称性、局所超対称性がはいる（？）
⇒ 超重力理論になる（？）
3-2) 一般に混ざり合った対称性のどれかを局所化すれば、全ての対称性を両立させる為には全ての対称性が局所化される（？）
⇒ 必然的に統一理論になる（？）
⇒ これは嘘？超Yang-Mills理論等、内部対称性は局所化されているが、他の対称性について局所化されていない形式の理論がある。（ならば、そもそもこれはConsistentな理論か？）
3-3) これとは別に、計量が力学的でない時空で、時空対称性を局所化し…と3-1)と同じ操作をするとどうなる？
⇒ 3-2)が嘘でも、3-1)が正しければ、3-3)は意味を持つ（？）つまり、重力は特殊である（？）
疑問：
・作用の持つ対称性が、Lie群やLie代数的である必要はあるか？また、Lie群的であって、Lie代数が閉じない場合、（内部対称性、超対称性等の多重項の）表現の分類はどうなるか？また、その物理的な意味は何か？
加えるべき議論 ： 作用及び運動方程式とそれらの記述形式（～Lagrangian、Hamiltonian等）
C. 量子化について
量子化 ＝ 正準量子化 or 経路積分量子化 or q-変形（非可換）量子化 等 ～ 物理量の量子化 ＋ 状態ベクトル空間（？ベクトル空間、である必要性）の構成 ： 量子化とはなんであるべきか、これに答える事は難しいようだ。（要議論）
Hamiltonian + 正準交換関係が決まる ⇒
1) 量子化の実行には物理量（演算子）のGreen函数または、経路積分の収束が必要（？） ⇒ Gauge固定が必要（？） ⇒ FP処方とBRST対称性とは何をしているのか（表しているのか）？
疑問：
・正準変数とFourier変換の関係は？（～Symplectic多様体の変数の取り方の対称性とFourier変換？～T-dualとの関係あり？）
⇒ 系に対称性があれば保存流が存在し、従って保存量が存在する（Noetherの定理）。更に保存量は対称性を表すLie群のLie代数の元（～生成子）になる（何故か？）。正準変数は変換される変数と、変換する生成子の間の関係である（～微分表現ではTaylor展開そのもの？）。
⇒ Liouville-Arnoldの定理：（十分な数の）保存量の集合がPoisson括弧によって成すLie代数が全て可換である時系は完全可積分である。これを表現論（～量子論？）の立場で考えると、全てが可換であるので全ての保存量が同時固有値を持つ。つまり、全ての保存量が同時に保存可能である（？）。故に（十分な数の）保存量は系を束縛し系を決定する（？）
⇒ Liouville-Arnoldの定理が成り立つ古典系の量子化はどうなるか？
・LagrangianとHamiltonianどちらがより基本的と思うべきか？つまり、Lagrangian経路積分と、Hamiltonian経路積分（＋正準量子化）の齟齬が意味する事は何か？また、順序関係（～非可換量子化？）との関係は？
・状態ベクトル空間は、演算子の固有状態及び対称性の代数、真空の要請等から決める。固有状態とは保存量に対して効果的な物理を記述するのではないか？
・de Rahm cohomologyとLie群のcohomologyとBRST cohomologyの関係は？
（・BRST対称性を局所化すると何が出来るか？）
メモ（具体的な系）：
時空対称性 ＝ Lorentz対称性 ＋ 並進対称性 ＋ 超対称性
↓ 局所化
局所時空対称性 ＝ 局所Lorentz対称性（各点で直交基底を回転させる対称性） ＋ Diffeomorphism ＋ 局所超対称性
・局所Lorentzからはspin接続（？）
・局所長対称性からは超対称性的接続 ～ gravitino（？）
・Diffeomorphismからは多脚場or計量（？）
⇒ spin接続と多脚場の関係は一意的か？
Off shellとOn shellの持つ役割は？
主旨は、場の理論に必要なデータとは何か、それに関わる数学との関係という感じで適当に書きました。
A. 時空について
時空多様体 ＝ Riemann（Lorentz）多様体 (M, g) ： 現代物理学では、局所的（～理論のパラメータが小さな範囲？）に"良い"性質（～法則や対称性？）を持っていて、それが"非自明"な方法で"張り合わされている"状況を考える。この仮定はある意味で局所的なルールが大域的なルールに"連続的"につながる事を意味しているようである。特に重力の理論は時空間の距離（～計量）又は曲率によって決定されると考える。
Mが決まる ⇒
1) Topologyが決まる ～ Mの（何らかの）Homologyが決まる
⇒ 多様体上の（おおよそ）函数空間が分類される（？）
⇒ 計量gの自由度が決まる（？） ～ Moduli空間（～Riemann多様体の同型類の空間）が決まる（？）
2) 開か閉か？Compactか？連結か？向き付け可能か？等々が決まる ⇒ Spinorが定義出来るか等が決まる（？）
⇒ 次に書くように、Mが持つ対称性（～Mに作用する変換群）に対称性が埋め込める（回転の場合回転対称性、複素の場合、複素係数対称性が埋め込める）ならば、Mには対称性に由来する物理を記述する事が出来る（？）
3) Mは等質空間か？
⇒（yes） MはLie群の商空間で表現される
⇒ Mに定まる最大の対称性Gが決まる
⇒ Gの表現によりMに（大域的に）定義可能なFiber Fが分類される（？） ～ （大域的に）定義可能な物理量が分類される
⇒ Fiberの分類とK理論の関係は？
疑問：
・そもそも多様体である必要があるか？
・Riemann多様体のModuli空間は何で特徴付けられているか？（Diffeomorphism？）
・1), 3)の関係は？ ～ 多様体と表現とFiberの関係は？
・対称性とはLie群的であるべきか？他の方法はないか？
B. 場について
場 ＝ (M, g, G)の上に、Fiber F（表現）を生やす (F, π, (M, g), H) （Hは構造群 ～ 内部対称性（？）） ： 場とは多様体上の函数概念の一般化である。つまり多様体上に自由度（場の住む空間～ベクトル空間等）を加え、多様体の各点に自由度方向の値が対応する。構造群はいくつかの場をセットにして考えたFiber上に定義される対称性を定める（～内部対称性）。これは作用（～運動方程式）から決まる（？）
(F, π, (M, g), H)が決まる ⇒
1) Hは作用S（～運動方程式）から決まる（？）
⇒ Sは任意にとれる（？）
⇒ H(S)と書くべき（？）
⇒ 作用Sには時空対称性Gから制限がつくか？これはColeman-Mandulaの定理より、時空対称性と内部対称性が独立となる事から問題無し？
2) H(S)とGの関係は？ ～ 時空対称性と内部対称性の関係は？
⇒ 通常は無し（？）
⇒ 超対称性を入れると混ざる
⇒ 任意のGで成り立つ関係か？（つまりGがPoncare群である事は様々な場面で必要か？）超対称性が入れられるM, G等への条件は？
3) Gauge原理によりGやH(S)に対する大域的対称性を持つ作用Sを、局所対称性を持つ作用に書き換える（？） ⇒
3-1) 時空対称性を局所化すると重力理論になる（？今の場合、始めから時空がRiemann多様体である事を仮定しているので変か？）
⇒ （超対称性がある場合）他の対称性も絡み合ってるので自動的に局所内部対称性、局所超対称性がはいる（？）
⇒ 超重力理論になる（？）
3-2) 一般に混ざり合った対称性のどれかを局所化すれば、全ての対称性を両立させる為には全ての対称性が局所化される（？）
⇒ 必然的に統一理論になる（？）
⇒ これは嘘？超Yang-Mills理論等、内部対称性は局所化されているが、他の対称性について局所化されていない形式の理論がある。（ならば、そもそもこれはConsistentな理論か？）
3-3) これとは別に、計量が力学的でない時空で、時空対称性を局所化し…と3-1)と同じ操作をするとどうなる？
⇒ 3-2)が嘘でも、3-1)が正しければ、3-3)は意味を持つ（？）つまり、重力は特殊である（？）
疑問：
・作用の持つ対称性が、Lie群やLie代数的である必要はあるか？また、Lie群的であって、Lie代数が閉じない場合、（内部対称性、超対称性等の多重項の）表現の分類はどうなるか？また、その物理的な意味は何か？
加えるべき議論 ： 作用及び運動方程式とそれらの記述形式（～Lagrangian、Hamiltonian等）
C. 量子化について
量子化 ＝ 正準量子化 or 経路積分量子化 or q-変形（非可換）量子化 等 ～ 物理量の量子化 ＋ 状態ベクトル空間（？ベクトル空間、である必要性）の構成 ： 量子化とはなんであるべきか、これに答える事は難しいようだ。（要議論）
Hamiltonian + 正準交換関係が決まる ⇒
1) 量子化の実行には物理量（演算子）のGreen函数または、経路積分の収束が必要（？） ⇒ Gauge固定が必要（？） ⇒ FP処方とBRST対称性とは何をしているのか（表しているのか）？
疑問：
・正準変数とFourier変換の関係は？（～Symplectic多様体の変数の取り方の対称性とFourier変換？～T-dualとの関係あり？）
⇒ 系に対称性があれば保存流が存在し、従って保存量が存在する（Noetherの定理）。更に保存量は対称性を表すLie群のLie代数の元（～生成子）になる（何故か？）。正準変数は変換される変数と、変換する生成子の間の関係である（～微分表現ではTaylor展開そのもの？）。
⇒ Liouville-Arnoldの定理：（十分な数の）保存量の集合がPoisson括弧によって成すLie代数が全て可換である時系は完全可積分である。これを表現論（～量子論？）の立場で考えると、全てが可換であるので全ての保存量が同時固有値を持つ。つまり、全ての保存量が同時に保存可能である（？）。故に（十分な数の）保存量は系を束縛し系を決定する（？）
⇒ Liouville-Arnoldの定理が成り立つ古典系の量子化はどうなるか？
・LagrangianとHamiltonianどちらがより基本的と思うべきか？つまり、Lagrangian経路積分と、Hamiltonian経路積分（＋正準量子化）の齟齬が意味する事は何か？また、順序関係（～非可換量子化？）との関係は？
・状態ベクトル空間は、演算子の固有状態及び対称性の代数、真空の要請等から決める。固有状態とは保存量に対して効果的な物理を記述するのではないか？
・de Rahm cohomologyとLie群のcohomologyとBRST cohomologyの関係は？
（・BRST対称性を局所化すると何が出来るか？）
メモ（具体的な系）：
時空対称性 ＝ Lorentz対称性 ＋ 並進対称性 ＋ 超対称性
↓ 局所化
局所時空対称性 ＝ 局所Lorentz対称性（各点で直交基底を回転させる対称性） ＋ Diffeomorphism ＋ 局所超対称性
・局所Lorentzからはspin接続（？）
・局所長対称性からは超対称性的接続 ～ gravitino（？）
・Diffeomorphismからは多脚場or計量（？）
⇒ spin接続と多脚場の関係は一意的か？
Off shellとOn shellの持つ役割は？