この記事はいつも以上に未完成です。皆様のコメントで助けて頂けると幸いです…。
～本文ここから～
～文献～
今回はミラー対称性について簡単に書きたいと思います。
文献は、クレイ数学研究所のモノグラム
Cumrun Vafa and Eric Zaslow, Mirror Symmetry.
Michael Douglas and Mark Gross, Dirichlet Branes and Mirror Symmetry.
が長いですが、非常によく書かれていると思います。Amazon等から製本版を購入出来ますが、リンクからタダで入手する事も出来ます。
非常に少ないですが、日本語の文献もいくつかあります。
深谷賢治, ミラー対称性入門.
秦泉寺 雅夫, 別冊数理科学 数物系のためのミラー対称性入門.
～本論～
論文
Candelas, Philip; de la Ossa, Xenia C.; Green, Paul S.; Parkes, Linda (1991), “A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal theory”, Nuclear Physics. B 359
に於いて
Calabi-Yau多様体（CY多様体）上のrational curveの数え上げ問題
＝ "Mirror CY多様体"上の正則３形式の周期積分
という対応が見つかりました。この異なるCY多様体の対応（双対性）をミラー対称性と呼びます。
＊この型のミラー対称性はtoric多様体上の超曲面（～CY多様体になるらしい（？））の上のinstanton数の数え上げの話に拡張されてるらしいです。
この議論の物理的な解釈は、超対称"閉"弦の理論に於ける、ⅡA型及びⅡB型から得られる、topological twistされたN=2の超対称シグマ模型（Aモデル、Bモデル）の間の対応というものに成るそうです。（＊怪しい）
開弦の理論ではD-braneがあるため新しい型のミラー対称性が生じます：
・ホモロジー的ミラー対称性
・Kontsevich, Maxim (1994), Homological algebra of mirror symmetry, arXiv:alg-geom/9411018
これはAモデルがシンプレクティック多様体、Bモデルが複素多様体に対応する事を拡張し、シンプレクティック多様体と複素多様体の間の対応として
シンプレクティック多様体上の深谷圏
～ 複素多様体上の連接層の導来圏
が（三角圏として）圏同値になると予想したものです（更にA^∞圏だったり色々バリエーションが有るようです）。それぞれの圏の対象はD-braneで射は開弦だったりするらしいです。
・Strominger-Yau-Zaslow（SYZ）予想
Strominger, Andrew; Yau, Shing-Tung; Zaslow, Eric (1996). “Mirror symmetry is T-duality”. Nuclear Physics B 479 (1): 243–259.
これは、オリジナルのミラー対称性に関する２つの閉弦理論、ⅡA理論とⅡB理論がT双対性で移り合う事から、ミラー対称性がコンパクト化及びその間のT双対性（の一般化？）の結果起こるものだとした予想です。
この視点ではミラー対称性を引き起こす変換はフーリエ・向井変換に成ったりするようです。
～本文ここから～
～文献～
今回はミラー対称性について簡単に書きたいと思います。
文献は、クレイ数学研究所のモノグラム
Cumrun Vafa and Eric Zaslow, Mirror Symmetry.
Michael Douglas and Mark Gross, Dirichlet Branes and Mirror Symmetry.
が長いですが、非常によく書かれていると思います。Amazon等から製本版を購入出来ますが、リンクからタダで入手する事も出来ます。
非常に少ないですが、日本語の文献もいくつかあります。
深谷賢治, ミラー対称性入門.
秦泉寺 雅夫, 別冊数理科学 数物系のためのミラー対称性入門.
～本論～
論文
Candelas, Philip; de la Ossa, Xenia C.; Green, Paul S.; Parkes, Linda (1991), “A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal theory”, Nuclear Physics. B 359
に於いて
Calabi-Yau多様体（CY多様体）上のrational curveの数え上げ問題
＝ "Mirror CY多様体"上の正則３形式の周期積分
という対応が見つかりました。この異なるCY多様体の対応（双対性）をミラー対称性と呼びます。
＊この型のミラー対称性はtoric多様体上の超曲面（～CY多様体になるらしい（？））の上のinstanton数の数え上げの話に拡張されてるらしいです。
この議論の物理的な解釈は、超対称"閉"弦の理論に於ける、ⅡA型及びⅡB型から得られる、topological twistされたN=2の超対称シグマ模型（Aモデル、Bモデル）の間の対応というものに成るそうです。（＊怪しい）
開弦の理論ではD-braneがあるため新しい型のミラー対称性が生じます：
・ホモロジー的ミラー対称性
・Kontsevich, Maxim (1994), Homological algebra of mirror symmetry, arXiv:alg-geom/9411018
これはAモデルがシンプレクティック多様体、Bモデルが複素多様体に対応する事を拡張し、シンプレクティック多様体と複素多様体の間の対応として
シンプレクティック多様体上の深谷圏
～ 複素多様体上の連接層の導来圏
が（三角圏として）圏同値になると予想したものです（更にA^∞圏だったり色々バリエーションが有るようです）。それぞれの圏の対象はD-braneで射は開弦だったりするらしいです。
・Strominger-Yau-Zaslow（SYZ）予想
Strominger, Andrew; Yau, Shing-Tung; Zaslow, Eric (1996). “Mirror symmetry is T-duality”. Nuclear Physics B 479 (1): 243–259.
これは、オリジナルのミラー対称性に関する２つの閉弦理論、ⅡA理論とⅡB理論がT双対性で移り合う事から、ミラー対称性がコンパクト化及びその間のT双対性（の一般化？）の結果起こるものだとした予想です。
この視点ではミラー対称性を引き起こす変換はフーリエ・向井変換に成ったりするようです。