この記事はいつも以上に未完成です。皆様のコメントで助けて頂けると幸いです…。
~本文ここから~
~文献~
今回はミラー対称性について簡単に書きたいと思います。
文献は、クレイ数学研究所のモノグラム
Cumrun Vafa and Eric Zaslow, Mirror Symmetry.
Michael Douglas and Mark Gross, Dirichlet Branes and Mirror Symmetry.
が長いですが、非常によく書かれていると思います。Amazon等から製本版を購入出来ますが、リンクからタダで入手する事も出来ます。
非常に少ないですが、日本語の文献もいくつかあります。
深谷賢治, ミラー対称性入門.
秦泉寺 雅夫, 別冊数理科学 数物系のためのミラー対称性入門.
~本論~
論文
Candelas, Philip; de la Ossa, Xenia C.; Green, Paul S.; Parkes, Linda (1991), “A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal theory”, Nuclear Physics. B 359
に於いて
Calabi-Yau多様体(CY多様体)上のrational curveの数え上げ問題
= "Mirror CY多様体"上の正則3形式の周期積分
という対応が見つかりました。この異なるCY多様体の対応(双対性)をミラー対称性と呼びます。
*この型のミラー対称性はtoric多様体上の超曲面(~CY多様体になるらしい(?))の上のinstanton数の数え上げの話に拡張されてるらしいです。
この議論の物理的な解釈は、超対称"閉"弦の理論に於ける、ⅡA型及びⅡB型から得られる、topological twistされたN=2の超対称シグマ模型(Aモデル、Bモデル)の間の対応というものに成るそうです。(*怪しい)
開弦の理論ではD-braneがあるため新しい型のミラー対称性が生じます:
・ホモロジー的ミラー対称性
・Kontsevich, Maxim (1994), Homological algebra of mirror symmetry, arXiv:alg-geom/9411018
これはAモデルがシンプレクティック多様体、Bモデルが複素多様体に対応する事を拡張し、シンプレクティック多様体と複素多様体の間の対応として
シンプレクティック多様体上の深谷圏
~ 複素多様体上の連接層の導来圏
が(三角圏として)圏同値になると予想したものです(更にA^∞圏だったり色々バリエーションが有るようです)。それぞれの圏の対象はD-braneで射は開弦だったりするらしいです。
・Strominger-Yau-Zaslow(SYZ)予想
Strominger, Andrew; Yau, Shing-Tung; Zaslow, Eric (1996). “Mirror symmetry is T-duality”. Nuclear Physics B 479 (1): 243–259.
これは、オリジナルのミラー対称性に関する2つの閉弦理論、ⅡA理論とⅡB理論がT双対性で移り合う事から、ミラー対称性がコンパクト化及びその間のT双対性(の一般化?)の結果起こるものだとした予想です。
この視点ではミラー対称性を引き起こす変換はフーリエ・向井変換に成ったりするようです。
~本文ここから~
~文献~
今回はミラー対称性について簡単に書きたいと思います。
文献は、クレイ数学研究所のモノグラム
Cumrun Vafa and Eric Zaslow, Mirror Symmetry.
Michael Douglas and Mark Gross, Dirichlet Branes and Mirror Symmetry.
が長いですが、非常によく書かれていると思います。Amazon等から製本版を購入出来ますが、リンクからタダで入手する事も出来ます。
非常に少ないですが、日本語の文献もいくつかあります。
深谷賢治, ミラー対称性入門.
秦泉寺 雅夫, 別冊数理科学 数物系のためのミラー対称性入門.
~本論~
論文
Candelas, Philip; de la Ossa, Xenia C.; Green, Paul S.; Parkes, Linda (1991), “A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal theory”, Nuclear Physics. B 359
に於いて
Calabi-Yau多様体(CY多様体)上のrational curveの数え上げ問題
= "Mirror CY多様体"上の正則3形式の周期積分
という対応が見つかりました。この異なるCY多様体の対応(双対性)をミラー対称性と呼びます。
*この型のミラー対称性はtoric多様体上の超曲面(~CY多様体になるらしい(?))の上のinstanton数の数え上げの話に拡張されてるらしいです。
この議論の物理的な解釈は、超対称"閉"弦の理論に於ける、ⅡA型及びⅡB型から得られる、topological twistされたN=2の超対称シグマ模型(Aモデル、Bモデル)の間の対応というものに成るそうです。(*怪しい)
開弦の理論ではD-braneがあるため新しい型のミラー対称性が生じます:
・ホモロジー的ミラー対称性
・Kontsevich, Maxim (1994), Homological algebra of mirror symmetry, arXiv:alg-geom/9411018
これはAモデルがシンプレクティック多様体、Bモデルが複素多様体に対応する事を拡張し、シンプレクティック多様体と複素多様体の間の対応として
シンプレクティック多様体上の深谷圏
~ 複素多様体上の連接層の導来圏
が(三角圏として)圏同値になると予想したものです(更にA^∞圏だったり色々バリエーションが有るようです)。それぞれの圏の対象はD-braneで射は開弦だったりするらしいです。
・Strominger-Yau-Zaslow(SYZ)予想
Strominger, Andrew; Yau, Shing-Tung; Zaslow, Eric (1996). “Mirror symmetry is T-duality”. Nuclear Physics B 479 (1): 243–259.
これは、オリジナルのミラー対称性に関する2つの閉弦理論、ⅡA理論とⅡB理論がT双対性で移り合う事から、ミラー対称性がコンパクト化及びその間のT双対性(の一般化?)の結果起こるものだとした予想です。
この視点ではミラー対称性を引き起こす変換はフーリエ・向井変換に成ったりするようです。