代数幾何学では代数多様体（正確にはアフィン多様体）を体（四則演算可能な集合。一般には可換環、特にネーター環。）上の多項式fの零点集合(f=0を満たす点の集合)と考える。このときその零点の数は係数の連続変形で不変、つまり、多項式の零点の数は位相不変量と考える事が出来る（ベズーの定理とその一般化）。
しかしこのことを正確に理解する為には射影空間というものを理解しなくてはならない。射影空間とは大雑把に言って与えられた空間に"無限遠集合"を付け加えた集合である。特に射影空間は代数多様体である。
定義を述べよう。
kを体とする。体kのnこの直積k^nをにk-加群構造を定義したものを、アフィン空間A^n_kと呼ぶ。アフィン空間に次の同値関係を定義する。即ち
x~y （x,y≠0）
⇔
ある０でないkの元λが存在して
x=λy
を満たす。
この時A^n_k-{0}をこの同値類で割った空間kP^n:=A^n_k/~をn次元(k)射影空間と呼ぶ。
…これだけ言われても何のことか分からないかもしれないので、簡単な例を挙げよう。
①１次元実射影空間 RP^1：２次元の実平面上の原点を通る直線全体の成す空間。この空間は半径１の円の（０<θ<=π）部分と同一視される。特にθ＝πの部分は”無限遠点”を表す。ちなみにθ=0とθ=πはつながっておりコンパクトになっている。実はこの事は一般の実及び複素射影空間で成り立つ。
つまり、原点でない点A=(x,y)と点B=(x',y')が同値であるとは、二点A,Bが同じ原点を通る直線の上にあることと定義される。従ってこの空間はR^2上の直線全体が成す空間と同一視出来る。
しかし直線を"点"だと思うのは少し難しい。（同値類の考え方に慣れていれば良いのかもしれないがモノを塊で見るよりは代表元をとってきて点だと思って議論する方が分かりやすいだろう。）そこで"一つの直線に対し一つの点"を対応させるべく半径１の円の（０<θ<=π）部分を用意する。
すると、任意のR^2上の直線はこの上半円と交点を持ち、その直線と交点は１対１に対応することがわかる。従ってRP^1を半円と見なすことが出来る。
②２次元実射影空間 RP^2：
・３次元空間(x,y,z)を考える
・z=1 （x-y平面と平行な平面）を考えると、z≠0の同値類の代表元と同一視される → この平面は２次元空間R^2
・z=0 （x-y平面）を考えると、これは(x,y,0)という１次元射影空間を考える事と同じである。更に、
・y=1（x軸と平行な直線）を考えると、y≠0の同値類の代表元と同一視される → この直線は１次元空間R^1（無限遠直線）
・y=0 （x軸）を考えると、(x,0,0) ~ (1,0,0)より一点と成る → この点は０次元空間R^0（無限遠点）
であるから、結局この様な場合分けを経て、２次元実射影空間 RP^2は
と書ける事が分かる。
③n次元実射影空間 RP^n：同様にn次元実射影空間RP^nは
と書ける事が分かる。
こうしてn次元射影空間は空間をn個に分けて考える事が出来る。
メモ：
① n次方程式の解の個数の数え上げ問題を考える。例えば、２次方程式について考える。２次方程式、
ax^2+bx+c=0
の解の個数は、解の公式からその判別式を用いることで判定出来る。しかし、１次方程式に極限をとったとき（a→0）その解の数の振る舞いを考えると、いわゆる解の公式から性質を知ることが出来ない。
しかし、射影空間を考えると無限遠点を意味のある点として考えることが出来るので、１次方程式に漸近する２次方程式の解はその一つが無限遠点に行くことを確認することが出来る、というわけである。
② この考え方を一般化して、多変数、高次、連立方程式に対して同様のことが出来る。しかし、過剰交差の考えなど様々な難点がある。
Ref.
[1] 清水勇二, 数え上げ幾何学と弦理論, 日本評論社（２０１１）
しかしこのことを正確に理解する為には射影空間というものを理解しなくてはならない。射影空間とは大雑把に言って与えられた空間に"無限遠集合"を付け加えた集合である。特に射影空間は代数多様体である。
定義を述べよう。
kを体とする。体kのnこの直積k^nをにk-加群構造を定義したものを、アフィン空間A^n_kと呼ぶ。アフィン空間に次の同値関係を定義する。即ち
x~y （x,y≠0）
⇔
ある０でないkの元λが存在して
x=λy
を満たす。
この時A^n_k-{0}をこの同値類で割った空間kP^n:=A^n_k/~をn次元(k)射影空間と呼ぶ。
…これだけ言われても何のことか分からないかもしれないので、簡単な例を挙げよう。
①１次元実射影空間 RP^1：２次元の実平面上の原点を通る直線全体の成す空間。この空間は半径１の円の（０<θ<=π）部分と同一視される。特にθ＝πの部分は”無限遠点”を表す。ちなみにθ=0とθ=πはつながっておりコンパクトになっている。実はこの事は一般の実及び複素射影空間で成り立つ。
つまり、原点でない点A=(x,y)と点B=(x',y')が同値であるとは、二点A,Bが同じ原点を通る直線の上にあることと定義される。従ってこの空間はR^2上の直線全体が成す空間と同一視出来る。
しかし直線を"点"だと思うのは少し難しい。（同値類の考え方に慣れていれば良いのかもしれないがモノを塊で見るよりは代表元をとってきて点だと思って議論する方が分かりやすいだろう。）そこで"一つの直線に対し一つの点"を対応させるべく半径１の円の（０<θ<=π）部分を用意する。
すると、任意のR^2上の直線はこの上半円と交点を持ち、その直線と交点は１対１に対応することがわかる。従ってRP^1を半円と見なすことが出来る。
②２次元実射影空間 RP^2：
・３次元空間(x,y,z)を考える
・z=1 （x-y平面と平行な平面）を考えると、z≠0の同値類の代表元と同一視される → この平面は２次元空間R^2
・z=0 （x-y平面）を考えると、これは(x,y,0)という１次元射影空間を考える事と同じである。更に、
・y=1（x軸と平行な直線）を考えると、y≠0の同値類の代表元と同一視される → この直線は１次元空間R^1（無限遠直線）
・y=0 （x軸）を考えると、(x,0,0) ~ (1,0,0)より一点と成る → この点は０次元空間R^0（無限遠点）
であるから、結局この様な場合分けを経て、２次元実射影空間 RP^2は
と書ける事が分かる。
③n次元実射影空間 RP^n：同様にn次元実射影空間RP^nは
と書ける事が分かる。
こうしてn次元射影空間は空間をn個に分けて考える事が出来る。
メモ：
① n次方程式の解の個数の数え上げ問題を考える。例えば、２次方程式について考える。２次方程式、
ax^2+bx+c=0
の解の個数は、解の公式からその判別式を用いることで判定出来る。しかし、１次方程式に極限をとったとき（a→0）その解の数の振る舞いを考えると、いわゆる解の公式から性質を知ることが出来ない。
しかし、射影空間を考えると無限遠点を意味のある点として考えることが出来るので、１次方程式に漸近する２次方程式の解はその一つが無限遠点に行くことを確認することが出来る、というわけである。
② この考え方を一般化して、多変数、高次、連立方程式に対して同様のことが出来る。しかし、過剰交差の考えなど様々な難点がある。
Ref.
[1] 清水勇二, 数え上げ幾何学と弦理論, 日本評論社（２０１１）