地方の反乱勢力、たとえば奥羽(東北地方)の蝦夷を征伐せよ、と天皇の命令を受けて、遠征軍を組織して出征するのが「征夷大将軍」ですね。
遠征軍ですから、京都から遠く離れたところで、即断即決でいろんなことを決めなければならなくなります。将兵の配置、資材の調達、占領地の統治、配下への恩賞と反乱者や軍規違反者への処罰、人事から経済、裁判まで、いろんなことを、「京都の天皇や関白の命令を待たずに、その場で独断で処理してよろしい」という権限が「征夷大将軍」には与えられています。
つまり、遠征先に幕を張って作った「臨時政府」は、遠征中の政治をすべて委任された存在なわけです。これが「幕府」です。
源頼朝は「征夷大将軍」に任ぜられた時点で、京都朝廷の言うことをいちいち聞かなくていい関東の独立地方政権として公認された、と考えられます。これを後世「幕府」と表現したわけです。つまり、鎌倉幕府というのは、ずっと「遠征中」だったわけですね、建前上は。
だから、室町幕府が京都にあるってのは本当はおかしいんですが、いろんな事情でそうなってました。家康が幕府を開いたのが関東なのが、むしろ当然なのです。
秀吉が将軍にならなかった
ことが、よく「不思議」といわれますが、、畿内(京都や大坂、天皇のすぐそば)に政権を作ろうとするなら、征夷大将軍になるのはむしろ不自然です。天皇のすぐそばにいる貴族を「公家」と呼ぶわけですから、公家の頂点である関白の称号を取ったのは、むしろ当然といえるかも知れません。