【ポアンカレ予想】
（3次元）ポアンカレ予想（ポアンカレよそう、Poincaré conjecture）とは、数学（位相幾何学）における予想のひとつ。
【概要】
ポアンカレ予想とは、
単連結な3次元閉多様体は3次元球面S3に同相である。
という予想であり、1904年にフランスの数学者アンリ・ポアンカレによって提出された。以来ほぼ100年にわたり未解決だったが、2002年から2003年にかけてロシア人数学者グリゴリー・ペレルマンはこれを証明したとする複数の論文をarXivに掲載した。これらの論文について2006年の夏ごろまで複数の数学者チームによる検証が行われた結果、証明に誤りのないことが明らかになり、ペレルマンには、この業績によって2006年のフィールズ賞が贈られた（ただし本人は受賞を辞退）。
【一般化された問題】
単連結な2次元閉多様体においては、どのような輪であっても引き絞れば回収できるようであれば、その表面（表皮部分）は2次元球面に同相である。
【幾何化予想とペレルマン】
ペレルマンが証明したポアンカレ予想を検証した証明したチームは、どれもペレルマン論文は基本的に正しく致命的誤りはなかったこと、また細部のギャップについてもペレルマンの手法によって修正可能であったという結論で一致した。これらのことから、現在では少なくともポアンカレ予想についてはペレルマンにより解決されたと考えられている。
ほとんどの数学者がトポロジーを使ってポアンカレ予想を解こうとしたのに対し、ペレルマンは微分幾何学と物理学の手法を使って解いてみせた。そのため、解の説明を求められてアメリカの壇上に立ったペレルマンの解説を聞いた数学者たちは、「まず、ポアンカレ予想を解かれたことに落胆し、それがトポロジーではなく微分幾何学を使って解かれたことに落胆し、そして、その解の解説がまったく理解できないことに落胆した」という。なお、証明には熱量・エントロピーなどの物理的な用語が登場する。
2006年8月22日、スペインのマドリードで催された国際数学者会議の開会式においてペレルマンに対しフィールズ賞が授与された。ただし、本人はこれを辞退した。その直前にステクロフ数学研究所を退職しており、その後は無職の状態である。人付き合いを嫌い、サンクトペテルブルクの実家で僅かな貯金と母親の年金で生活している。
2006年12月22日、アメリカの科学誌「サイエンス」で科学的成果の年間トップ10が発表され、その第1位に「ポアンカレ予想の解決」が選ばれた。
【賞金100万ドル】
アメリカにあるクレイ数学研究所（CMI）はポアンカレ予想をミレニアム懸賞問題の一つに指定し、証明した者に100万ドル（約8000万円）の賞金を与えると発表している。ここでペレルマンが本賞を受賞するのかどうかが一部の関心を呼んでいた。また、彼は賞金を受け取る条件である「査読つき専門雑誌への掲載」をしておらずまた彼の証明はあくまでも要領を発表したに過ぎないという説もあった。
この件に関し、CMI代表のジェームズ・カールソン(James Carlson)は次のように述べている。
「CMIの規定では受賞資格者は必ずしも専門誌に掲載された論文の直接的な執筆者に限られる訳ではない。ペレルマンが変則的な発表手段を採り、arXivへの掲載のみに留めて専門誌に投稿していないというそのこと自体は、彼が受賞する上での障害とはならない。」CMIは何れにしてもあらゆる素材を吟味して証明の成否を判定し、然る後初めて授賞を検討するようである。
2010年3月18日、クレイ数学研究所はペレルマンへのミレニアム賞授賞を発表した。これに関してペレルマンは以前、同賞を「受けるかどうかは、授賞を伝えられてから考える」と述べていたが、結局授賞式には出席しなかった。研究所の所長は「選択を尊重する」と声明を発表し、賞金と賞品は保管されるという。
2010年7月1日、ペレルマンは賞金の受け取りを最終的に断ったと報じられた。断った理由は複数あり、数学界の決定には不公平があることに対する異議や、ポアンカレ予想の解決に貢献したリチャード・S・ハミルトンに対する評価が十分ではないことなどを挙げている。さらに、このことについて本人は「理由はいろいろある」と答えた。
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（3次元）ポアンカレ予想（ポアンカレよそう、Poincaré conjecture）とは、数学（位相幾何学）における予想のひとつ。
【概要】
ポアンカレ予想とは、
単連結な3次元閉多様体は3次元球面S3に同相である。
という予想であり、1904年にフランスの数学者アンリ・ポアンカレによって提出された。以来ほぼ100年にわたり未解決だったが、2002年から2003年にかけてロシア人数学者グリゴリー・ペレルマンはこれを証明したとする複数の論文をarXivに掲載した。これらの論文について2006年の夏ごろまで複数の数学者チームによる検証が行われた結果、証明に誤りのないことが明らかになり、ペレルマンには、この業績によって2006年のフィールズ賞が贈られた（ただし本人は受賞を辞退）。
【一般化された問題】
単連結な2次元閉多様体においては、どのような輪であっても引き絞れば回収できるようであれば、その表面（表皮部分）は2次元球面に同相である。
【幾何化予想とペレルマン】
ペレルマンが証明したポアンカレ予想を検証した証明したチームは、どれもペレルマン論文は基本的に正しく致命的誤りはなかったこと、また細部のギャップについてもペレルマンの手法によって修正可能であったという結論で一致した。これらのことから、現在では少なくともポアンカレ予想についてはペレルマンにより解決されたと考えられている。
ほとんどの数学者がトポロジーを使ってポアンカレ予想を解こうとしたのに対し、ペレルマンは微分幾何学と物理学の手法を使って解いてみせた。そのため、解の説明を求められてアメリカの壇上に立ったペレルマンの解説を聞いた数学者たちは、「まず、ポアンカレ予想を解かれたことに落胆し、それがトポロジーではなく微分幾何学を使って解かれたことに落胆し、そして、その解の解説がまったく理解できないことに落胆した」という。なお、証明には熱量・エントロピーなどの物理的な用語が登場する。
2006年8月22日、スペインのマドリードで催された国際数学者会議の開会式においてペレルマンに対しフィールズ賞が授与された。ただし、本人はこれを辞退した。その直前にステクロフ数学研究所を退職しており、その後は無職の状態である。人付き合いを嫌い、サンクトペテルブルクの実家で僅かな貯金と母親の年金で生活している。
2006年12月22日、アメリカの科学誌「サイエンス」で科学的成果の年間トップ10が発表され、その第1位に「ポアンカレ予想の解決」が選ばれた。
【賞金100万ドル】
アメリカにあるクレイ数学研究所（CMI）はポアンカレ予想をミレニアム懸賞問題の一つに指定し、証明した者に100万ドル（約8000万円）の賞金を与えると発表している。ここでペレルマンが本賞を受賞するのかどうかが一部の関心を呼んでいた。また、彼は賞金を受け取る条件である「査読つき専門雑誌への掲載」をしておらずまた彼の証明はあくまでも要領を発表したに過ぎないという説もあった。
この件に関し、CMI代表のジェームズ・カールソン(James Carlson)は次のように述べている。
「CMIの規定では受賞資格者は必ずしも専門誌に掲載された論文の直接的な執筆者に限られる訳ではない。ペレルマンが変則的な発表手段を採り、arXivへの掲載のみに留めて専門誌に投稿していないというそのこと自体は、彼が受賞する上での障害とはならない。」CMIは何れにしてもあらゆる素材を吟味して証明の成否を判定し、然る後初めて授賞を検討するようである。
2010年3月18日、クレイ数学研究所はペレルマンへのミレニアム賞授賞を発表した。これに関してペレルマンは以前、同賞を「受けるかどうかは、授賞を伝えられてから考える」と述べていたが、結局授賞式には出席しなかった。研究所の所長は「選択を尊重する」と声明を発表し、賞金と賞品は保管されるという。
2010年7月1日、ペレルマンは賞金の受け取りを最終的に断ったと報じられた。断った理由は複数あり、数学界の決定には不公平があることに対する異議や、ポアンカレ予想の解決に貢献したリチャード・S・ハミルトンに対する評価が十分ではないことなどを挙げている。さらに、このことについて本人は「理由はいろいろある」と答えた。
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