Difference Between 'both of' and 'both'
今日、高校３年生から質問がありました。
Both of my parents were brought up in Osaka.
（私の両親は二人とも大阪育ちです。）
Both his brothers are traveling abroad.
（私の兄は二人とも海外旅行中だ。）
と、of がある形とない形があります。
この of がわかりません・・・と。
これも高校生にわかりやすく説明したので、載せますね。
あえて日本語訳すると、
Both of my parents 「両親のどちらもが」
Both my parents 「両方の親が」
となります。
あはは、これでもわからないですよね。
つまり both は代名詞で「両方とも」という訳をとります。
また形容詞で「両方の～」という使い方もできます。
要するに代名詞と形容詞の使い方の違いです。
だから両方の形が可能なんですが、英会話的に言うと、of が入るとちょっと書き言葉っぽくて、ふだんの会話に使うなら形容詞のofがない方を使うかなくらいです。
the が入る、入らないパターンもややこしいですね。
All of the students have to take the test.
All the students have to take the test.
All students have to take the test.
すべて、「生徒は全員、そのテストを受けなければならない。」
both of と同様、 代名詞 all of の後には必ず冠詞（または相当語）をつけるのですが、 形容詞 all 「すべての」の後には the があってもなくてもかまいません。
しゃべっていて the を言わなくてもわかるので、落ちてきたのだと思います。
ただ all of the boys だと特定された少年たちの全員に対し、 all boys は「そもそも少年というものはすべて」みたいな感じになります。
奥が深い of の使い方です。。。（理解できたでしょうか・・・
）